lineáris algebra
Adott egy lineáris tér és. A szabály, amelynek minden eleme egy egyedi elemet, az úgynevezett operátor. eljáró lineáris terek. Az eredmény szereplő intézkedések az elem vagy kijelöl. Ha az elemek által összekapcsolt kapcsolatban, az úgynevezett image elem; elem prototípus elem.
A több elem egy lineáris tér, amelyre egy akció az üzemeltető, az úgynevezett doménje az üzemeltető és a címke.
Az elemek sokaságát egy lineáris tér, amely a képek eleme a szolgáltatási területét, az üzemeltető az úgynevezett image és a címkét. Ha, akkor.
Operator lineáris térben nevezik lineáris operátor. ha bármilyen és bármennyi.
Ha a tér és ugyanaz, akkor azt mondjuk, hogy az üzemeltető jár a térben. Az alábbiakban vesszük lineáris operátorok lineáris térben.
Lineáris operátor és mátrix. Az átmenet egy másik alapon
Tekintsük a lineáris operátor egy véges dimenziós térben, és hagyja, hogy alapot. Jelöljük a képek alapján vektorok.
amelynek oszlopai a koordinátákat a képek alapján vektorok, úgynevezett mátrix egy lineáris operátor egy adott alapot.
Bebizonyosodott, hogy minden lineáris operátor eljárva az n-dimenziós vektortér megfelel egy egyedi négyzetes mátrix n-edrendű; és a hátsó egyes négyzetes mátrix érdekében n definiál egy lineáris operátor ebben a térben. Ha ez az arány
egyrészt, a koordinátákat társított kép koordinátáit az inverz kép, másrészt, leírják a hatását, előre meghatározott mátrix.
Amikor a változás alapja mátrixa vektortér nyilvánvalóan megváltozott. A térben volt egy eltolódás az alapvonaltól az alapvonalra. Közötti kommunikáció a mátrix és a ennek alapján mátrix alapján képlet határozza meg.
Itt, az átmenet mátrix alapján, hogy az alapja és inverze.
1. példa Matrix szereplő új alapokon.
A kép és a lineáris kernel
Tekintsük a lineáris operátor egy véges dimenziós térben. Megmutatjuk, hogy a lineáris operátor lineáris teret. Dimenziója a kép lineáris operátor nevezik rang az üzemeltető. jelezték.
A kernel a lineáris operátor az elemekre, amelynek képe a nulla elemet. lásd a kernel :. A kernel a lineáris operátor lineáris tér; dimenziója a lineáris operátor úgynevezett defektomoperatora mag. kijelölt :.
Egy lineáris operátor eljáró n-dimenziós lineáris tér, a következő állítások igazak:
az összeg a rang és a hiba az üzemeltető megegyezik a mérete a tér, amelyben az üzemeltető érvényes :;
Rank üzemeltető egyenlő a rangot a mátrix;
a kernel a beállított lineáris homogén rendszerben, hogy a mátrix, a dimenziója az oldat tér a rendszerirányító hiba és az alapvető rendszer megoldások alapját képezi az üzemeltető mag;
oszlopok alapján mátrix operátor Minor alapját képezik az üzemeltető képet.
Ezek a megállapítások lehetővé teszik számunkra, hogy leírja a szerkezet a képre, és a kernel a lineáris operátor által adott mátrix, nyelvét használva mátrix transzformációk és az általános elmélet lineáris rendszerek.
2. példa A kép és a lineáris kernel.
A sajátértékek és sajátvektorok lineáris operátor
Hagyja, hogy a lineáris operátor lineáris térben.
A számot hívják sajátérték. és egy nem nulla vektort megfelelő sajátvektorának lineáris operátor, amennyiben azok.
Hagyja, hogy a mátrix szereplő némi alapja.
Sajátértékeket és megfelelő sajátvektorok kapcsolódó, ahol az identitás mátrix, és a nulla térelem. Ez azt jelenti, hogy a sajátvektor egy nem nulla lineáris homogén rendszer megoldás, hogy létezik, akkor és csak akkor, ha. Ezért, a sajátértékei a lineáris üzemben lehet kiszámítani a gyökerei az egyenlet, és a sajátvektorok -, mint a megoldások a megfelelő homogén rendszerek.
Az egyenlet az úgynevezett karakterisztikus egyenletének az üzemeltető, és a polinom karakterisztikus polinomja az üzemeltető.
A sajátértékek és sajátvektorok lineáris operátor a következő állítások igazak:
karakterisztikus polinomja üzemeltető eljárva n-dimenziós tér egy lineáris többtagú n-ed-fokú relatív;
lineáris szereplő n-dimenziós lineáris tér nem több különböző sajátértékei;
sajátvektorok megfelelő különböző sajátértékek lineárisan függetlenek;
ha a lineáris szereplő n-dimenziós vektortér, elkülönülő sajátértékek, sajátvektorok alapját képezik a teret; Ezen az alapon nevezik alapján saját üzemben;
mátrix alapján saját vektorok átlós alakban a sajátértékek az átlós.
3. példa sajátértékeit és sajátvektor az üzemeltető.