Triple integrálok - studopediya
3.1. Meghatározása hármas integrál
Hármas integrál komplett kettős beépített analóg. Tegyük fel, hogy egy háromdimenziós régió (V) egy folytonos függvény három változót.
Osztjuk a régió (V) önkényes módon az n elemi régiók (Vi) (i = 1,2, ... n) nincs közös belső pontja, amely jelöljük térfogat.
Mi választjuk ki az egyes tetszőleges pont és így a szerves összeg
Jelöljük # 955; A legnagyobb átmérő az elemi régiók (V1), (V2) .... (Vn) :. hol.
Ha a határ, amikor a szerves összeg # 955; → 0 (n → ∞), amely független bármely módszer partíciózását mező (V) naelementarnye régió és kiválasztásának pontokat minden egyes elemi régióban, ez a határérték az úgynevezett hármas integrál a régió (V), és funkciókat jelentenek:
A funkció ebben az esetben az úgynevezett beilleszthetőségét (V).
Megjegyzés. Tulajdonságok hármas integrálok teljesen analóg a tulajdonságok a kettős integrálok.
3.2. Kiszámítása tripla integrálok
3.2.1. Kiszámítása a hármas integrál derékszögű koordináta
Let - folyamatos (V) függvény, (V) - része a tér által határolt felső felülete. és alsó - felület.
Legyen a (D) - a nyúlvány (V) a sík Oxy.
A határterület (D) «fel» egy grafikon, a függvény. „Alsó” - grafikon a függvény.
A vetítési terület (D) a Ox tengely a szegmens [a; b] (ábra. 14)
Aztán ott van a képlet:
számítani,
Ha a (V) - által határolt területen a síkok x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1.
Megoldás Area (V) ábrán látható (15). ezért
Egyszerű számítások, akkor jön a válasz.
Megjegyzés. Ha. az
ahol - az a térfogat régió (V).
3.2.2. Hármas szerves hengerkoordinátákban.
A hengeres koordinátarendszerben, a pont helyzete M a tér által meghatározott poláris koordináták r és egy pont - pont M a nyúlvány a síkra Oxi és applikáta Z az M pont, azaz a (15. ábra).
R számok, # 966;, z az úgynevezett hengeres pont koordinátáit M.
Ha megváltoztatja a hengeres koordinátarendszer térfogatával egyenlő elem. R Jacobi átmenet.
Ezután a következő képlet
Példa Find térfogatú henger H magasságú és egy bázis sugara R.
3.2.3. Hármas integrál gömbi koordináták.
Egy gömb alakú koordináta-rendszer, a pont helyzete M a tér által meghatározott r távolság M pont a koordináta-rendszer, egy poláris szög # 966; közötti pozitív iránya az Ox tengely és a nyúlvány a sugár vektor az M pont a síkban Oxy szöget és # 952; közötti pozitív tengely irányába Oz és sugara vektor az M pont (ábra. 18).
R számok, # 966;, # 952; nevezett gömb alakú pont koordinátáit M.
Ha megváltoztatja a hengeres koordinátarendszer térfogatával egyenlő elem. Jacobi az átmenet.
Ezután a következő képlet:
Példa Find kötet egy gömb R sugarú
Az oldatot ábrázolják a labdát a koordináta-rendszerben Oxyz (ábra. 20).