tripla integrálok

Triple integrálok ugyanolyan tulajdonságokkal rendelkezik, mint a kettős integrálok (linearitás, összegző képlet középérték, stb)

I. számítása tripla integrálok újbóli integráció.

1. Tegyük fel, hogy az f (x, y, z) folytonos a szakterületen T.

Először, legyen T = [a, b; c, d; e, f] - egy derékszögű parallelepipedon, vetíti YZ síkban téglalapon belül R = [c, d; e, f]. majd

Cseréje a (1) a kettős integrál ismételt kapjunk

A számítás a hármas integrál csökken három egymást követő számítások határozott integrálok.

Ha az első két integrálok (2) együtt egy kettős, ez lesz

ahol P = [a, b; c, d] - paralelepipedon vetülete T az xy síkban.

Figyeljük meg, hogy meg lehet változtatni a szerepe a változó ezekben az esetekben.

2. Legyen T körbezárt területen a síkok közötti x = a és x = b, sőt, egyes szakaszain a régió T jelentése Quadrature síkidom G (x) (ábra. 1). majd

3. Tegyük fel most, hogy a test T "hengeres fűrészáru" korlátos felett és alatt, illetve a felületek z = z1 (x, y) és z = z2 (x, y). vetít az xy síkban néhány squarability ábrán G (2. ábra), z1 (x, y) és Z2 (x, y) - a folyamatos G. Ezután

Megjegyezzük, hogy együtt a fenti képletekben az a hely, és hasonlók, így kapott permutáció változók x, y és z.

Ha a feltételek

1. Kijelző (6) bijectively;

2. Funkciók a (6) folyamatosan - differenciálható

3. Jacobi

akkor megvan a képlet

Képlet (6) nevezik a görbe vonalú koordináták (u, v, w) a T. Tekintsük példaként a görbe vonalú koordinátákat.

1. Hengeres koordinátái polárkoordinátában vegyület xy síkban a szokásos derékszögű alkalmazásánál z (ábra. 3).

Legyen M (x, y, z) - egy tetszőleges pont a térben XYZ. P - vetülete az M pont a xy síkban. M pont van egyedileg meg van határozva egy triplett számok - a poláris pont koordinátái P. Z - applikáta pont M. képletek kapcsolatos őket derékszögű van formájában

Jacobi (8)

2. Gömb koordinátákat. Legyen M (x, y) - egy tetszőleges pont a térben XYZ. P - vetülete az M pont a xy síkban. Az M pont egyértelműen meghatározza három szám, ahol r - távolság az M pont az a pont 0, - közötti szög az OM és OZ sugarak. - poláris szög a P pont az xy síkon. Három hívott számot gömbölyű pont koordinátáit M.

Ezek kapcsolódnak négyszögletes képletek

leképezés Jacobi. Néha használják generalizált gömbi koordináták.

Cubed Volume V-régió a T (köbös test) a térben XYZ képlete

Átadás ebben egyenlőség az új változók képletek szerint (6), kapjuk kifejezése térfogatának T mező görbe vonalú koordináta

Legyen T - anyagi test (CubeD terület), amelynek a sűrűsége

Example1. Számítsuk ki a térfogatát, a test által határolt felületek: x 2 + y 2 + z 2 = a 2, X 2 2 + y - ax = 0. (5. ábra).

Határozat. Tekintsük egynegyede testrész, lezhaschoyu az első oktáns. Része a felületének a vágott henger van kialakítva, hogy. majd

Mi viszont a szerves, hogy hengeres koordinátákat szerinti (8). A kör egyenlete x? + Y? - ax = 0 átalakul egy görbe és felület egyenlete - a látvány

ahol T - által határolt területen a felület

Határozat. Mi viszont integrál gömbi koordináták képletekkel (9). Ezután a domain integráció lehet állítani az egyenlőtlenségek

---