Tétel Wyeth inverz tétel, általános képletű Wyeth

Között a gyökerek és együtthatóit másodfokú egyenlet. Emellett gyökerek képletek léteznek más hasznos meghatározásánál, amelyeket adott tétel Wyeth. Ebben a cikkben fogunk adni megfogalmazása és bizonyítása Térség tétel a másodfokú egyenlet. Következő vesszük az elmélet inverz Térség tétel. Ezután elemezzük a megoldást a legjellemzőbb példa. Végül, mi írjuk a képlete Vieta, határozza meg a kommunikáció a valós gyökerei egy algebrai egyenlet fokú n és annak együtthatók.

Oldalnavigáció.

Térség tétel megfogalmazása bizonyítási

Képletek gyökerek a másodfokú egyenlet egy · x 2 + b · x + c = 0 faj. ahol D = b 2 -4 · egy · c. folyási arány x1 + x2 = -B / a. x1 · x2 = c / a. Ezek az eredmények által jóváhagyott Térség tétel.

Ha X1 és X2 - gyökerek a másodfokú egyenlet egy · x 2 + b · x + c = 0. az összeg a gyökerek egyenlő az arány a együtthatók b és egy. hozott ellenkező előjelűek, és a termék a gyökerek az aránya az együtthatók C-on és. azaz.

Proof Wyeth-tétel a következő séma szerint: alkotják összege és a termék a tér gyökerei az egyenlet segítségével az ismert képlet gyökerek, majd transzformáljuk a kapott kifejezéseket, és ellenőrizze, hogy azok egyenlő -b / a és c / a, ill.

Kezdjük a gyökerei az összeg megegyezik az alkotó. Most, hogy a frakciók közös nevező, mi van. A tört számlálója kapott felfedi a zárójelben. akkor adja ezeket a feltételeket. Végül, miután csökken a 2-es frakció get. Ez azt bizonyítja, az első kapcsolat Térség tétel összege a tér gyökerei az egyenlet. Mi jár a második.

Mi kell a termék a gyökerek egy másodfokú egyenlet. A szabály szerint a szorzás frakciók, az utóbbi termék felírható. Most nem a szorzás merevítők a tartón a számlálóban, de a gyorsabb tekercs a általános képletű terméket a különbség négyzetek. így van. Aztán eszébe jutott a meghatározása négyzetgyök. Mi végre a következő műszak. Mivel a diszkriminánsa másodfokú egyenlet megfelel a képletnek, D = b 2 -4 · egy · c. Az utolsó frakció lehet helyett szubsztituált D b 2 -4 · egy · c. Kapunk. Expanzió után zárójelben és csökkentve hasonló kifejezések eljutunk a frakcióból. és annak csökkentése 4 · egy ad. Ez azt bizonyítja, a második kapcsolatban Wyeth tétel dolgozik a gyökerek.

Ha elhagyjuk a magyarázat, az igazolást a tétel lesz Térség tömören:
,
.

Továbbra is csak meg kell jegyezni, hogy a diszkrimináns nulla másodfokú egyenletnek egy gyökér. Azonban, ha azt feltételezzük, hogy az egyenlet ebben az esetben két azonos gyökér, az egyenlet tétel Wyeth is előfordulnak. Valóban, ha D = 0 egy gyökér a másodfokú egyenlet. akkor. és mivel a D = 0. azaz, b 2 -4 · egy · c = 0. ahol b 2 = 4 · egy · c. akkor.

A gyakorlatban, a leggyakrabban használt a Wyeth-tétel alkalmazott adott másodfokú egyenlet (a vezető együttható a. Egyenlő 1) az x 2 + p · x + q = 0. Néha, és megfogalmazni másodfokú egyenletek olyan típusú, amely nem korlátozza a általánosság, mert bármilyen másodfokú egyenlet helyébe a egyenértékű egyenlet. egy részlege két rész nem nulla szám a. Itt látható a megfelelő tétel állítása az Térség:

Csökkentett összeg gyökerei a másodfokú egyenlet x 2 + p · x + q = 0 az az együttható, x. hozott ellenkező előjelűek, és a termék a gyökerek - egy szabad tag, azaz, X1 + X2 = -p. x1 · x2 = q.

Tétel, az inverz tétele Térség

A második tétel állítása a Vieta, foglalt az előző bekezdésben azt mutatja, hogy ha x1 és x2 a gyökerek a fenti másodfokú egyenlet x 2 + p · x + q = 0. akkor a kapcsolatok x1 + x2 = -p. x1 · x2 = q. Másrészt, a rögzített arányok X1 + X2 = -p. x1 · x2 = q magában foglalja, hogy X1 és X2 jelentése gyökerei a másodfokú egyenlet x 2 + p · x + q = 0. Más szóval, az állítás ellentétes Térség tétel. Azt állítjuk, hogy a tétel, és bizonyítani.

Ha a számok x1 és x2 úgy, hogy X1 + X2 = -p és x1 · x2 = q. X1 és X2 jelentése a gyökerek a fenti másodfokú egyenlet x 2 + p · x + q = 0.

Cseréje után a egyenletben x 2 + x · p + q = 0 a együtthatók p és q azok kifejezések szempontjából x1 és x2. átalakul egy egyenlet egyenértékű 2 x - (x1 + x2) · x + x1 · x2 = 0.

Behelyettesítve a kapott egyenlet helyett x számú x1. x1 van egyenlőség 2 - (X1 + X2) · x1 + x1 · x2 = 0. amelyek, ha bármilyen x1 és x2 jelentése a megfelelő numerikus egyenlőség 0 = 0. mivel x1 2 - (X1 + X2) x1 · x2 + x1 · x1 = 2 2 -X1 -X 2 · x1 + x1 · x2 = 0. Következésképpen, x1 - gyökere x 2 - (X1 + X2) · x + x1 · x2 = 0. és ezért, x1 - gyökér- és ez felel meg az x 2 + p · x + q = 0.

Ha a 2. egyenlet x - (x1 + x2) · x + x1 · x2 = 0 x számú helyettesítő x2. megkapjuk az egyenletet x2 2 - (X1 + X2) · x2 + x1 · x2 = 0. Ez az egyenlőség igaz, mivel x2 2 - (x1 + x2) · x2 + x1 · x2 = 2 x2 -X1 · x2 X2 2 + x1 · x2 = 0. Ennek megfelelően, x2 is gyöke x 2 - (X1 + X2) · x + x1 · x2 = 0. és így az x 2 + p · x + q = 0.

Ezzel befejeződött a igazolást a tétel, az inverz tétele Térség.

Példák a felhasználásra Wyeth Tétel

Itt az ideje, hogy beszéljünk a gyakorlati alkalmazását Térség tétel és inverzét tétel. Ebben a részben elemezzük a döntés több legjellegzetesebb példa.

Kezdjük az alkalmazás tétel inverz tétel Wyeth. Ez kényelmesen használható annak ellenőrzésére, hogy az adatok a két gyökere másodfokú egyenlet adott. Kiszámítja az összeg és a különbség, ami után ellenőrizni az érvényességét kapcsolatok. Ha mindkét arányok, akkor a tétel, az inverz tétele Térség arra a következtetésre jutottak, hogy ezek a számok a gyökerei az egyenlet. Ha legalább az egyik feltétel nem teljesül, akkor ezek a számok nem a gyökerei a másodfokú egyenlet. Ez a megközelítés lehet, hogy megoldja a másodfokú egyenletek, hogy ellenőrizze a talált gyökereit.

Mely számpárok 1) x1 = -5. x2 = 3. vagy 2). vagy 3) egy pár gyökerek a másodfokú egyenlet 4 · x 2 -16 · x + 9 = 0.

Előre meghatározott együtthatók a másodfokú egyenlet 4 · x 2 -16 · x + 9 = 0 a = 4. b = -16. c = 9. Szerint a tétel a Térség négyzetösszege gyökerei az egyenlet egyenlőnek kell lennie -b / a. azaz, 16/4 = 4. és a gyökerek a termék legyen egyenlő c / a. azaz 9/4.

Most kiszámítja az összeget és a termék a számok az egyes előre meghatározott párok, és hasonlítsa össze őket, az újonnan kapott értékeket.

Az első esetben van X1 + X2 = -5 + 3 = -2. A kapott érték eltér 4 Ezért további ellenőrzés nem tudja ellátni, valamint a tétel, tétel visszajelzést Wyeth azonnal megállapítható, hogy az első pár szám nem egy előre meghatározott pár gyökerei egy másodfokú egyenlet.

Azt viszont, hogy a második esetben. Itt van. azaz az első feltétel teljesül. Megvizsgáljuk a második feltételt. a kapott érték eltér 9/4. Következésképpen, a második pár számok nem egy pár gyökerei egy másodfokú egyenlet.

Egy utolsó eset. Itt van. Mindkét feltétel teljesül, de ezek a számok x1 és x2 gyökerei másodfokú egyenlet adott.

Tétel, az inverz tétele Vieta, a gyakorlatban, a kiválasztáshoz használandó a gyökerek egy másodfokú egyenlet. Általában a kiválasztott egész gyöke adott másodfokú egyenlet egész együtthatós, mivel elég nehéz csinálni más esetekben. Ebben az esetben használja a tény, hogy ha az összeg két szám egyenlő a második tényező a másodfokú egyenlet, hozott a mínusz jel, és a terméket ezen számok a konstans tag, ezek a számok a gyökerei egy másodfokú egyenlet. Kezeljük ezt a példát.

Vegyük másodfokú egyenlet x 2 -5 · x + 6 = 0. Ahhoz, hogy a száma x1 és x2 a gyökerei ennek az egyenletnek kell elvégeznie két egyenlet x1 + x2 = 5 és x1 · x2 = 6. Továbbra is felvenni ezeket a számokat. Ebben az esetben ez elég ahhoz, hogy egyszerű: az ilyen számok a 2. és 3. 2 + 3 = 5 és 2 × 3 = 6. Így, a 2. és 3. - a gyökereit ennek másodfokú egyenlet.

Tétel, Tétel reverz Wyeth különösen kényelmes a használata megtalálásához a fenti második gyökér a másodfokú egyenlet, amikor ismert vagy nyilvánvaló egyik gyökerek. Ebben az esetben a második gyökér minden a kapcsolatok.

Például, hogy a másodfokú egyenlet 512 · x 2 -509 · X-3 = 0. Ez könnyű észrevenni, hogy az egység a gyökere az egyenlet, mint az összege az együtthatók a másodfokú egyenlet nulla. Tehát, x1 = 1. A második gyökér X2 megtalálható, például, a következő összefüggés x1 · x2 = c / a. Jelenleg 1 · x2 = -3/512. ahol X2 = -3/512. Így már azonosított két gyökere másodfokú egyenlet: 1 és -3/512.

Magától értetődik, hogy a kiválasztás a gyökerek megfelelő csak nagyon egyszerű esetekben. Más esetekben, a keresést a gyökerek a képlet akkor is alkalmazható a gyökereken keresztül egy másodfokú egyenlet diszkrimináns.

Egy másik gyakorlati alkalmazása a tétel, tétel Wyeth visszajelzést abból áll, hogy a tér gyökerei egyenletek által adott x1 és x2. Elegendő kiszámításához az összeg a gyökér amely együttható x ellenkező előjelűek adott másodfokú egyenlet, és a terméket a gyökér ami a konstans tag.

Írja meg a másodfokú egyenlet, amelynek gyökerei a számok -11 és 23.

Jelöljük x1 = -11, és x2 = 23. Kiszámítjuk az összeget, és a terméket az alábbi számokat: x1 + x2 = 12 és x1 · x2 = -253. Ezért, ezek a számok a gyökerek a másodfokú egyenlet csökken második együtthatójának és konstans -12 -253. Azaz, x 2 -12 · X-253 = 0 - a kívánt egyenletet.

x 2 -12 · X-253 = 0.

Térség tétele gyakran használják kapcsolatos problémák megoldása a jelei a gyökerek másodfokú egyenlet. Hogyan tétel Wyeth kapcsolatos jelek adott gyökerei a másodfokú egyenlet x 2 + p · x + q = 0. Íme két kapcsolódó nyilatkozatai:

Ha a konstans Q - és egy pozitív szám, ha a másodfokú egyenletnek valós gyökei, akkor vagy a pozitív, vagy mindkettő negatív.
Ha a szabad kifejezés q - és egy negatív szám, ha a másodfokú egyenlet valós gyökei, a megjelölések eltérő, más szóval, az egyik gyökere pozitív, és a többi - negatív.

Ezek a megállapítások származnak képletű x1 · x2 = q. valamint a szabályok szorzata pozitív, negatív számok és a számok a különböző jeleket. Vegyük példaként azok alkalmazását.

Függetlenül attól, hogy mind a pozitív gyökér a másodfokú egyenlet x 2 -64 · X-21 = 0.

Ha a másodfokú egyenlet két gyöke, akkor nem lehet egyszerre pozitív, mert az Térség tétel, amely az egyenlő x1 · x2 = -21. ami nem lehetséges a pozitív x1 és x2.