Tétel 2 Wyeth

A matematika, vannak speciális technikákat, hogy sok másodfokú egyenlet megoldani nagyon gyorsan, és anélkül, diszkrimináns. Sőt, a megfelelő képzést, sokan kezdik megoldani másodfokú egyenletek szóban, szó szerint „első látásra”.

Sajnos a mai napon az iskolai matematika ilyen technológiák szinte nem vizsgálták. És tudja! Ma megnézzük az alábbi módszerek egyikét - tétele Térség. Kezdeni, egy olyan új definícióját.

A másodfokú egyenlet az x 2 + bx + c = 0 van megadva. Megjegyezzük, hogy a relatív x 2 értéke 1. Nincs más korlátozások vonatkoznak az együtthatók.

x 2 + x 7 + 12 = 0 - kap egy másodfokú egyenlet;
x 2 - 5 x + 6 = 0 - szintén csökken;
2 x 2 - 6 x + 8 = 0 - nifiga de nem adjuk meg, mivel az együttható az x 2 értéke 2.

Természetesen, bármely másodfokú egyenlet formájában ax 2 + bx + c = 0 adható - elég megosztani az összes, az együtthatók számának a. Mindig lehet megtenni, hiszen a meghatározás egy másodfokú egyenlet, ebből következik, hogy a ≠ 0.

Azonban nem mindig ezek az átalakulások hasznos lesz megtalálni a gyökereit. Alatta látjuk, hogy ezt meg kell tenni, ha a végső tér a fenti egyenletben az együtthatók egész számok. Közben, nézzük egy egyszerű példa:

Feladat. Átalakítani a másodfokú egyenlet ad:

3 X 2 - 12 x + 18 = 0;
-4 x 2 + 32 x + 16 = 0;
1,5 x 2 + 7,5 x + 3 = 0;
2 x 2 + 7 x - 11 = 0.

Osszuk minden egyenlet együttható az x változó 2. kapjuk:

3 X 2 - 12 x + 18 = 0 ⇒ x 2 - 4, x + 6 = 0-3 osztva az összes;
-4 x 2 + 32 x + 16 = 0 ⇒ x 2 - 8 x - 4 = 0 - osztva -4;
1,5 x 2 + 7,5 x + 3 = 0 ⇒ x 5 + 2 x + 2 = 0-1,5 osztva az összes arányú vált egész szám;
2 x 2 + x 7 - 11 = 0 ⇒ x 2 + 3,5 x - 5,5 = 0 - osztva 2. Ebben az esetben, miután frakcionált együtthatók.

Mint látható, mivel a másodfokú egyenletek lehet egész együtthatós, akkor is, ha az eredeti egyenlet tartalmazott egy töredéke.

Most adja meg a fő tétele, amelyek valójában bevezette a fenti másodfokú egyenlet:

Térség tétel. Vizsgáljunk egy adott másodfokú egyenlet az x 2 + bx + c = 0. Tegyük fel, hogy ez az egyenlet a valós gyökei x 1 és x 2 Ebben az esetben, a következő állítások igazak:

x 1 + x 2 = - b. Más szóval, a csökkent mennyiségű gyökerei a másodfokú egyenlet az az együttható, az x változó. hozott ellenkező előjellel;
x 1 · x 2 = c. A termék a gyökerei egy másodfokú egyenlet egyenlő a szabad tényező.

Példák. Az egyszerűség kedvéért úgy csak adott másodfokú egyenlet, amely nem igényel további módosításokat:

Térség tétel ad több információt a gyökerei egy másodfokú egyenlet. Első pillantásra ez tűnhet bonyolult, de még a minimális képzési tanulni „látni” a gyökerek és a szó szoros értelmében kitalálni őket másodperc.

Feladat. Oldjuk meg a másodfokú egyenlet:

X 2 - 9 x + 14 = 0;
X 2 - 12 x + 27 = 0;
3 x 2 + x 33 + 30 = 0;
-7 x 2 + 77 x - 210 = 0.

Próbáljuk kiírni az együtthatók Térség tétel, és a „kitalálni” a gyökerek:

x 2 - 9 x + 14 = 0 - adott egy másodfokú egyenlet.
A Tétel Wyeth van: x 1 + x 2 = - (- 9) = 9; x 1 · x 2 = 14. Ez könnyű megfigyelni, hogy a gyökerek - a 2. és a 7.;
x 2 - 12 x + 27 = 0 - is csökken.
By Tétel Wyeth: x 1 + x 2 = - (- 12) = 12; x 1 · x 2 = 27. Ezért gyökerek: 3 és 9;
3 x 2 + x 33 + 30 = 0 - ez az egyenlet nem csökken. De mi lesz kijavítani őt, elosztjuk mindkét oldalán az egyenlet egy tényező a = 3 megszerezni: x 2 + 11 x + 10 = 0.
Megoldása a Wyeth-tétel: x 1 + x 2 = -11; x 1 · x 2 = 10 ⇒ gyökerek: -10 és -1;
-7 x 2 + 77 x - 210 = 0 - ismét a együtthatója x 2 nem 1, azaz a egyenlet nem adott. Osszuk száma minden a = -7. Kapjuk: X 2 - 11 x + 30 = 0.
By Tétel Wyeth: x 1 + x 2 = - (- 11) = 11; x 1 · x 2 = 30; Ezen egyenletek könnyű kitalálni a gyökerek az 5. és 6..

A fenti fejtegetés azt mutatja, hogy a Wyeth tétel egyszerűsíti a megoldást másodfokú egyenlet. Nem bonyolult számításokat, nem számtani gyökerek és frakciói. És még diszkriminancia (lásd. Lecke „Megoldás másodfokú egyenlet”), nem volt szükség.

Természetesen minden, elkezdtünk gondolkodni két fontos feltételezés, amely általában véve nem mindig végre valós problémákat:

Másodfokú egyenlet adott, azaz együttható x 2 értéke 1;
Az egyenlet két különböző gyökerek. Abból a szempontból, algebra, ebben az esetben a diszkrimináns D> 0 - sőt, kezdetben azt feltételezik, hogy ez az egyenlőtlenség igaz.

Azonban a tipikus matematikai problémák, ezek a feltételek teljesülnek. Ha a számítások eredményeként kiderült a „rossz” másodfokú egyenlet (az együttható x 2 eltérő 1), könnyen erősít - egy pillantást a példákat az elején a leckét. A gyökerek nem mond semmit, mi a probléma, amelynek nincs válasz? Természetesen a gyökerek lesz.

Így, az általános rendszer a Másodfokú egyenletek megoldása tétele Vieta az alábbiak szerint:

Csökkent a másodfokú egyenlet adott, ha ez még nem a probléma;
Ha az együtthatók a fenti másodfokú egyenlet fordult frakcionált, megoldjuk a diszkrimináns. Akkor is megy vissza az eredeti egyenlet dolgozni egy „kényelmes” számok;
Abban az esetben, egész együtthatós megoldásával egyenlet Wyeth-tétel;
Ha néhány másodpercen belül nem sikerült kitalálni a gyökerek, dörömböl a tétel a Térség és dönt a diszkrimináns.

Feladat. Problémák egyenletet: 5 X 2 - 35 x + 50 = 0.

Tehát van egy egyenletet, amely nem csökken, mert az együttható a = 5. Osszuk mind az 5, kapjuk: x 2 - x + 7 10 = 0.

Minden együtthatók a másodfokú egyenlet értéke - próbálja megoldani Térség tétel. Jelenleg: x 1 + x 2 = - (- 7) = 7; x 1 · x 2 = 10. Ebben az esetben a gyökerek felismerni egyszerűen - ez a 2. és 5. Olvassa el a diszkrimináns nem szükséges.

Feladat. Problémák egyenletet: -5 x 2 + 8 x - 2,4 = 0.

Look: -5 x 2 + 8 x - 2,4 = 0 - ez az egyenlet nem egy adott, elosztjuk mindkét oldalról az együttható a = -5. Kapjuk: x 2 - 1,6 x + 0,48 = 0 - egyenlet frakcionált együtthatók.

Ez jobb, hogy visszatérjen az eredeti egyenlet, és feltételezik keresztül diszkrimináns: -5 x 2 + 8 x - 2,4 = 0 ⇒ D = 8 2 - 4 + (-5) + (-2.4) = 16 ⇒. ⇒ X 1 = 1,2; x 2 = 0,4.

Feladat. Megoldani az egyenletet: 2 x 2 + 10 x - 600 = 0.

Először osztani az összes együttható a = 2. Mi kapjuk az x 2 + 5 x - 300 = 0.

Ez az egyenlet adja Wyeth-tétel van: x 1 + x 2 = -5; x 1 · x 2 = -300. Találd meg a gyökerek esetében a másodfokú egyenlet nehéz - én személy szerint komolyan „befagyott”, amikor megoldotta ezt a problémát.

Majd meg kell keresni a gyökereit a diszkrimináns: D = május 02-04 · 1 · (-300) = 1225 = 35 2. Ha nem emlékszik a gyökér a diszkrimináló, csak megjegyzem, hogy 25 = 49. 1225. Ezért 1225 = 25 · 49 = 5 · 2 7 2 = 35 2.

Most, hogy a gyökér a diszkrimináló ismeretes, az egyenlet megoldásához nem nehéz. Kapjuk: X 1 = 15; x 2 = -20.

Ingyenes Felkészülés a vizsgára 7 egyszerű, de nagyon hasznos tanulságokat + házi feladat