Rational egyenletek, példák, oldatok

Továbbra is beszélni a megoldás az egyenletek. Ez a cikk részletesen tárgyalja elvei racionális egyenletek és racionális megoldásokat egyenletek egy változót. Először megértjük, hogy milyen egyenletek úgynevezett racionális, hogy meghatározza a racionális és frakcionált racionális egyenletek, példákat. Aztán kapunk algoritmusokat megoldására racionális egyenletek, és természetesen, nézd meg konkrét példákat megoldások minden szükséges magyarázatot.

Oldalnavigáció.

Mi a racionális egyenlet?

Elején a 8. évfolyamon a tanulságokat a algebra kezdődik egy átfogó tanulmányt a racionális kifejezések. Hamarosan persze kezdődik társkereső egyenletek tartalmazó racionális kifejezések a jegyzőkönyvekben. Az ilyen egyenletek úgynevezett racionális. Megfogalmazzuk zöngés információ formájában meghatározása racionális egyenletek.

Rational egyenletek - ez az egyenlet mindkét oldalát, amelyek racionális kifejezések.

Néha van egy definíció kissé eltérő szöveggel:

Rational egyenletet nevezzük a bal oldalon, ami egy racionális kifejezés, és a jobb oldalon - nulla.

Itt meg kell jegyezni, hogy valójában mindkét alábbi definíciók egyenértékűek, mivel bármilyen racionális kifejezések P és Q egyenletet p = Q-Q és P = 0 egyenértékűek egyenletek.

Kezdve a definíciók hangzott, adunk néhány példát racionális egyenletek. Például az x = 1. 2 · X-12 · x 2 · y · Z 3 = 0. - minden racionális egyenletek.

A bemutatott példák azt mutatják, hogy a racionális egyenlet azonban, és más típusú egyenletek lehet, mint egyetlen változó, és a két, három, stb változókat. A következő bekezdésekben fogunk beszélni megoldása racionális egyenletek egy változót. Az egyenletek megoldása a két változó, és számos különleges figyelmet érdemelnek.

Amellett, hogy a szétválás a racionális egyenletek száma ismeretlen változó, ők is osztva egész és tört. Adunk a megfelelő meghatározásokat.

Rational egyenletet nevezzük az egész. ha mind a bal és jobb részei, amelyek szerves racionális kifejezések.

Ha legalább egy része az egyenletnek van egy racionális frakcionált kifejezés, akkor ez az egyenlet úgynevezett frakcionált racionális (vagy frakcionált-racionális).

Magától értetődik, hogy az egyenletek nem tartalmaznak egész osztás egy változó kontraszt, frakcionált racionális Division egyenletet kell tartalmaznia, egy változó (vagy egy változót a nevező). Mivel 3 · x + 2 = 0, és (x + y) · (3 · x 2 -1) + x = -y + 0,5 - ez a racionális egész számok egyenletet, és mindkét rész integráns kifejezések. A és X # 58; (5 · x 3 + y 2) = 3 # 58; (x-1) # 58 5 - példák frakcionált racionális egyenletek.

Arra a következtetésre jutott ebben a kérdésben, vegye figyelembe, hogy a jól ismert, ezen a ponton, lineáris egyenletek és másodfokú egyenlet racionális szerves egyenletek.

Egész egyenletek megoldása

Az egyik fő megközelítés az egész egyenlet egyenértékű azok csökkentése az algebrai egyenletek. Ezt mindig el kell végezni, hogy elvégezzük a következő megfelelő átváltási egyenlet.

első kifejezés a jobb oldalon az eredeti egész egyenletet át a bal oldalon ellenkező előjelűek, hogy a megfelelő nulla;
majd a bal oldalon az egyenlet alakult az egész expressziós alakítjuk polinom szabványos formában.

Az eredmény egy algebrai egyenlet, amely egyenértékű az eredeti egész egyenletet. Így a legegyszerűbb esetekben, az oldatot egész egyenlet csökken a megoldás a lineáris és másodfokú egyenlet, és általában -, hogy megoldja egy algebrai egyenlet fokú n. Az érthetőség kedvéért nézzük mintaoldatra.

Kap az egész gyökerei egyenlet 3 · (x + 1) · (X-3) = x · (2 · X-1) -3.

Csökkentjük a megoldás az egész egyenlet egyenértékű megoldása algebrai egyenlet neki. Erre a célra, először át a kifejezést a jobb oldalon, hogy a bal oldalon, ennek eredményeként megérkezik az egyenletet 3 · (x + 1) · (X-3) -x · (2 · X-1) + 3 = 0. És másodszor, hogy átalakítsa a kifejezést alakult ki a bal oldalon, a formanyomtatványon egy polinom, hogy elvégezzük a szükséges intézkedéseket a polinomok. 3 · (x + 1) · (X-3) -x · (2 · X-1) + 3 = (3 · x + 3) · (X-3) -2 · x 2 + x + 3 = 3 · x 2 -9 · x + 3-9-2 · x 2 · x 3 + x + = x 2 -5 · X-6. Így, az oldatot az eredeti egész egyenletet csökkenti a másodfokú egyenlet megoldása x 2 -5 · X-6 = 0.

Számítsuk ki a diszkriminánsa D = (- 5) 2 -4 · 1 · (-6) = 25 + 24 = 49. ez pozitív, az azt jelenti, hogy az egyenlet két valós gyöke, ami található a gyökerek egy másodfokú egyenlet képlet:

Az biztos, hogy végezze el a talált a gyökerei az egyenlet. Kérjük, ellenőrizze a gyökér 6. helyettesíti azt az x változó az egyenlet az eredeti egész szám, 3 · (1 + 6) + (6-3) = 6 · (2 · 6-1) -3. ami ugyanaz, 63 = 63. Ez egy érvényes numerikus egyenlőség, tehát x = 6 valóban a gyökere az egyenlet. Most nézd meg a gyökér -1. van 3 · (1 + 1) * (-1-3) = (- 1) + (2 · (-1) -1) -3. ahol 0 = 0. Amikor x = -1 eredeti egyenlet is alkalmazzák, hogy a megfelelő numerikus egyenlőség, ezért x = -1 egy gyökér egyenlet is.

Ott is meg kell jegyezni, hogy a benyújtása az egész egyenlet formájában egy algebrai egyenlet társul a „foka az egész egyenletet.” Ad megfelelő meghatározása:

A mértéke a teljes egyenlet hívják mértékben egyenértékű vele algebrai egyenlet.

A meghatározás szerint az egész egyenlet az előző példában a második fokozatot.

Ebben az egy lenne a végén egy döntés racionális egyenletek, ha nem lenne az egyetlen dolog .... Mint ismeretes, az oldatot algebrai egyenletek mértéke nagyobb, mint a második nagy nehézségeit, és egyenletek a negyedik fokozat nagyobb nem létezik a gyökereit az általános képletek. Ezért az egyenletek megoldására, mint egy harmadik, a negyedik és a magasabb fokú gyakran kénytelenek más módszerek megoldást.

Ezekben az esetekben is, néha segít ki megközelítés a problémák racionális egyenletek módszerén alapuló faktoring. Ugyanakkor tartsa be a következő algoritmus:

először arról, hogy a jobb oldalon az egyenlet nulla volt, ez a kifejezés adódik át a jobb oldali részén az egész egyenlet bal oldalon;
Ezután, a kapott expressziós a bal oldali részt képvisel, mint a termék több tényező, amely lehetővé teszi, hogy együtt jár több egyszerűbb egyenletek.

Az algoritmus egy egyenlet megoldása által faktoring igényel részletes magyarázatot a példát.

Problémák integrál egyenlet (x 2 -1) · (x 2 -10 · x + 13) = 2 · X · (x 2 -10 · x + 13).

Először is, a szokásos átviteli expresszióját a jobb oldalon, hogy a bal oldalon az egyenlet, nem feledve, hogy változtatni a jel, azt kapjuk, (x 2 -1) · (x 2 -10 · x + 13) - 2 · X · (x 2 -10 · x + 13 ) = 0. Van teljesen nyilvánvaló, hogy nem célszerű átalakítani a bal oldalon az egyenlet kapott standard polinomja formájában, mivel ez ad egy algebrai egyenlet a negyedik fokozat az x 4 -12 · x + 3 2 · x 32 -16 · X-13 = 0. amelynek megoldása nehéz.

Másrészt nyilvánvaló, hogy a bal oldala az egyenletet ki a számításból a közös tényező x 2 -10 · x + 13. ezáltal bemutató, mint a terméket. Van (x 2 -10 · x + 13) · (x 2 -2 · X-1) = 0. Az így kapott egyenlet egyenértékű az eredeti egész egyenlet, és ez viszont, helyettesíteni lehet egy kombinációja két másodfokú egyenlet x 2 -10 · x + 13 = 0, és 2 x -2 · X-1 = 0. Megtalálása gyökerei által ismert képletek a gyökerek a diszkrimináns nem nehéz, a gyökereket egyenlő. Ezek a kívánt gyökerei az eredeti egyenletnek.

Megoldásokat racionális egyenletek hasznos, mint a módszer bevezetésével egy új változót. Bizonyos esetekben ez lehetővé teszi, hogy adja át a egyenleteket, a mértéke, amely alacsonyabb, mint a szint a teljes eredeti egyenletet.

A számlálóban található a bal oldalán egy frakcionális racionális egyenlet nulla, így az értéke ez a frakció egyenlő nullával minden x. amelyben van értelme. Más szóval, a megoldás ennek az egyenletnek bármely x értéknél TCC ezt a változót.

Továbbra is tartományának meghatározásához megengedett értékeket. Ez magában foglalja az összes ilyen érték x. amelyben X4 · x 5 + 3 ≠ 0. Solutions 5 + x 4 · x 3 = 0 0 és -5. mivel ez az egyenlet egyenértékű 3. egyenlet x · (X + 5) = 0. és ez viszont egyenértékű egy sor két egyenlet x 3 = 0 és x + 5 = 0. ahonnan ezek a gyökerek láthatók. Következésképpen, a tűrésmez mind x. azzal az eltéréssel, X = 0 és x = -5.

Így a frakcionált racionális egyenletnek végtelen sok megoldás, amely tetszőleges számú más mint nulla, mínusz öt.

Végül, itt az ideje, hogy beszéljünk a döntést frakcionált racionális egyenletek bármilyen. Ezek felírható r (x) = s (x). ahol r (x) és S (X) - a racionális kifejezések, és legalább egyikük egy töredéke. Ami a jövőt illeti, azt mondják, hogy a megoldás csökkenti a egyenletek megoldása a jól ismert fajta.

Ismeretes, hogy a transzfer egyik távon az egyenlet másik ellentétes előjellel vezet az egyenértékű egyenlet, így egyenlet r (x) = s (x) egyenértékű egyenlet r (x) -S (x) = 0.

Azt is tudjuk, hogy minden racionális kifejezés átalakítani a racionális frakció. azonosan egyenlő ezt a kifejezést. Így egy racionális kifejezés a bal oldalon az egyenlet R (x) -S (x) = 0, akkor mindig konvertálni azonosan egyenlő racionális frakció formájában.

Tehát kiindulva frakcionált racionális egyenletből r (x) = s (x) át a következő egyenlet. és annak megoldása, amint azt fentebb láttuk, csökken megoldása egyenlet p (x) = 0.

De itt meg kell feltétlenül figyelembe venni azt a tényt, hogy ha r (x) -s helyett (x) = 0. továbbra is p (x) = 0. bővül a tűrési tartomány az x változó is előfordulhat.

Következésképpen, az eredeti egyenlet r (x) = s (x) és az egyenlet p (x) = 0. amelyhez jöttünk, lehetnek neravnosilnymi, és a megoldás a egyenletet p (x) = 0. tudnánk a gyökereket, amelyek idegen gyökerei az eredeti egyenlet r (x) = s (x). Határozza meg, és egy olyan külső gyökerek tud válaszolni, vagy ellenőrzése közben vagy ellenőrzéséért tagsági DHS eredeti egyenletet.

Mi általánosítani ezt az információt a döntési algoritmus egy töredék racionális egyenlet r (x) = s (x). Hogy oldja frakcionált racionális egyenletet r (x) = s (x). kell

Szerezd meg a megfelelő zéró átadásával a kifejezés jobb oldalán ellentétes előjelű.
Műveletek végzése polinomok frakciók a bal oldalon az egyenlet, és ezáltal átalakítja azt egy racionális frakció formájában.
Ahhoz, hogy az egyenlet megoldásához p (x) = 0.
Azonosítása és megszüntetése idegen gyökereit, ami történik, helyettesítve őket az eredeti egyenlet, vagy ellenőrzi a beszállított ENDESA az eredeti egyenletet.

A jobb érthetőség kedvéért bemutatjuk az egész lánc megoldások frakcionált racionális egyenletek:
.

Nézzünk néhány példát megoldások részletes magyarázatát az oldat tisztázni megadott adatok blokk.

Problémák frakcionált racionális egyenletek.

Mi lesz megfelelően jár el, az újonnan kapott megoldási algoritmus. És kezdetben meghosszabbította a feltételeket a jobb oldalán a bal oldalon, ennek eredményeként megy az egyenletet.

A második lépésben, meg kell konvertálni a frakcionált racionális kifejezés a bal oldali Ennek az egyenletnek a frakció formában. Ehhez végezzük a csökkentés racionális frakciók közös nevezőre, és egyszerűsíti a kapott kifejezést. Így érkezünk az egyenletet.

A következő lépésben meg kell oldani az egyenlet -2 · X-1 = 0. Azt találjuk, X = -1/2.

Továbbra is ellenőrizni e vagy sem a számot talált -1/2 idegen gyökerei az eredeti egyenletnek. Ehhez, akkor csinál egy átvilágítás, vagy talál egy DHS x változó az eredeti egyenlet. Mutassa mindkét megközelítés.

Kezdjük ellenőrzésével. Behelyettesítve az eredeti egyenletet a változó számú x -1/2. Kapunk. ami ugyanaz, -1 = -1. Behelyettesítve megadja a megfelelő numerikus egyenlőség, viszont X = -1 / 2 egy gyökere az eredeti egyenlet.

Most azt mutatják, hogy az utolsó pont az algoritmus által elvégzett DHS. A körét megengedett értékek az eredeti egyenlet a készlet minden szám, kivéve a -1 és 0 (ha x = 1 és x = 0 Vanish nevezők). Talált az előző lépésben a gyökér a X = -1/2 tartozik a DHS, ezért x = -1 / 2 egy gyökere az eredeti egyenlet.

Tekintsük egy másik példát.

Keresse meg a gyökerei az egyenlet.

Meg kell oldani a frakcionált racionális egyenlet áthaladó összes lépést az algoritmus.

Először is, az átadás a kifejezés a jobb oldali balra jutunk.

Másodszor, átalakítani a kifejezést, kialakítva a bal oldalon. Ennek eredményeként, eljutunk a x = 0.

A gyökér nyilvánvaló - nulla.

A negyedik lépés az, hogy megtudja, nem található a gyökér a kívülállók számára a kezdeti tört racionális egyenletek. Amikor ez szubsztituált, az eredeti egyenletet kapjuk a kifejezést. Nyilvánvaló, hogy nincs értelme, mert tartalmaz egy nullával osztani. Amiből arra következtethetünk, hogy a 0 gyöke egy kívülálló. Ennek megfelelően az eredeti egyenletnek nincs gyökere.

Összefoglalva, hozzátesszük, hogy nem szükséges, hogy vakon tartsák be a fenti algoritmus megoldására frakcionált racionális egyenletek, bár egyetemes. Csak néha összegű más konverziós egyenleteket teszi, hogy jöjjön eredményeként gyorsabb és egyszerűbb.