Normál (Gauss eloszlás) jog
Definíció. A normális eloszlás az úgynevezett folytonos véletlen változó, amely leírja a sűrűségfüggvénye
Normális eloszlás is nevezik a törvény a Gauss.
Normál eloszlás központi elmélet a valószínűség. Ez annak a ténynek köszönhető, hogy ez a törvény nyilvánul meg minden olyan esetben, amikor a valószínűségi változó az eredménye a sok különböző tényező. A normál eloszlás közeledik minden más jogszabályok forgalmazás.
Egy könnyen azt mutatják, hogy a paramétereket és. tartozó eloszlási sűrűsége, illetve a átlaga és szórása a valószínűségi változó X.
Találunk F (x) eloszlásfüggvény.
Density telek egy normális eloszlás görbe az úgynevezett normális vagy Gauss-görbe.
Normál görbe az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik:
1) A funkció határozza meg a teljes tengelyen.
2) Ha az eloszlásfüggvénye x mindössze pozitív értékeket.
3) az x-tengelyen a vízszintes aszimptotájának a grafikont a valószínűségi sűrűség, mint alatt a korlátozatlan tumornövekedés az abszolút értéke az érvelés x. függvényérték közelít a nullához.
4) Keressük a szélsőérték a funkciót.
mert ha Y „> 0 X
5) A funkció szimmetrikus a vonal x = a. mert különbség
(X - a) része a sűrűség függvényében eloszlása a téren.
6) Ahhoz, hogy megtalálja az inflexiós pontok a grafikon megtalálják a második derivált a sűrűségfüggvény.
Amikor x = m + s, és X = m - s, a második derivált nulla, és amikor áthalad ezeken a pontokon megváltoztatja jel, azaz a ezeken a pontokon a függvénynek inflexiós.
Ezeken a pontokon a függvény értéke.
Ábrázoljuk a sűrűségfüggvény.
A grafikonok az m = 0, és a három lehetséges értékek a szabványos eltérés s = 1, s = 2 és s = 7. Mint látható, a növekvő értékek az szórás diagram válik laposabb, és a maximális érték csökkentése ..
Ha a> 0, a cselekmény mozog pozitív irányba, ha jól <0 – в отрицательном.
Amikor a = 0, és s = 1 nevezzük a normalizált görbét. Az egyenlet a normalizált görbét:
A rövidség kedvéért, mondjuk NE X engedelmeskedik a N (m, s), azaz X
N (m, s). A paraméterek m és s jelentése azonos az alapvető eloszlás jellemzői: MX = m, = s = Sx. Ha NE X
N (0, 1), ez az úgynevezett standard normál értéket. FR standardizált rendes érték az úgynevezett Laplace funkciót, és jelöljük az F (x). Ezt fel lehet használni, hogy kiszámítja a valószínűsége intervallum a normális eloszlás N (m, s):
Problémák megoldásában, a normális eloszlás gyakran szükséges a táblázatba foglalt értékek az Laplace funkciót. Mivel a Laplace kapcsolatának függvényében P (-x) = 1 - F (X). elegendő, hogy egy táblázatot függvényértékeket F (x) csak a pozitív értékek az érvelés.
A érintkezés valószínűsége szimmetrikus az átlagos intervallum, a képlet: P (| X - MX | A központi pillanatok a normális eloszlás kielégíti a rekurzió kapcsolatban: Mn + 2 = (n + 1) s 2 mn. n = 1, 2 Ez azt jelenti, hogy a páratlan érdekében központi pillanatok nullával egyenlő (mivel m1 = 0). Keressük a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen változó hit, elosztott a rendes törvény, egy adott intervallumban. mert az integrál nem lehet kifejezni elemi függvények, majd be a függvény Ez az úgynevezett Laplace beépített függvény vagy valószínűség. Ennek értékeit funkció különböző értékeket az x és megszámoljuk asztalt. Az alábbiakban egy grafikon Laplace funkciót. Laplace funkció a következő tulajdonságokkal rendelkezik: Laplace funkciót is nevezik hibafüggvényt, és jelzik EMA x. Még mindig használják a normalizált Laplace funkciót, amely kapcsolatban van a funkciója a Laplace-egyenlet: Az alábbiakban egy grafikon, amely a normalizált Laplace funkciót. Ha figyelembe vesszük a normális eloszlás kiemelkedik egy fontos speciális eset, más néven a három szigma szabály. Írunk a valószínűsége annak, hogy az eltérés a normális eloszlású véletlen változó várható értéke kisebb, mint egy előre meghatározott D: Ha vesszük D = 3s, megkapjuk táblázatok segítségével a Laplace funkció: Ie a valószínűsége, hogy egy valószínűségi változó eltér a matematikai elvárás nagyobb mennyiségben, mint háromszorosa a szórás gyakorlatilag nulla. Ez a szabály az úgynevezett hármas szabály szigma. Nem gyakorlatban úgy gondoljuk, hogy ha valamilyen - bármilyen véletlen változó el három szigma szabály szerint ez a véletlen változó normális eloszlású. Példa. A vonat áll a 100 kocsi. A tömeg minden autó - egy véletlen változó normális eloszlású = 65, és m és szórás s = 0,9 m mozdony hordozhatnak készítmény tömege nem több, mint 6600 m, egyébként szükséges, hogy horog a második mozdony .. Annak a valószínűsége, hogy a második mozdony nincs szükség. A második motor nem szükséges, ha az eltérés a várható a készítmény tömegének (100 × 65 = 6500) nem haladja meg a 6600-6500 = 100 m. mert súlya minden autó egy normális eloszlás, akkor a súlya a teljes kompozíció is normális eloszlású. Példa. Egy normális eloszlású X valószínűségi változó által meghatározott paraméterek - a = 2 - az elvárás, és s = 1 - standard deviáció. Szükséges, hogy írjon a valószínűség-sűrűség és a kivitelezést a grafikon, annak a valószínűsége, hogy X értéket vesz intervallumban (1, 3), annak a valószínűsége, hogy X fog eltérni (abszolút érték) a várakozás nem több, mint 2. A sűrűsége eloszlása a következő: Mi található a valószínűsége, hogy egy véletlen érték alá esik (1, 3). Mi annak a valószínűsége a véletlen eltérés várható értéke, amelynek összege nem haladhatja meg a 2. Ugyanezt az eredményt lehet beszerezni a normalizált Laplace funkciót. Előadás 8 nagy számok törvénye (2. rész) A centrális határeloszlástétel (általános készítmény és formulációban saját független és azonos eloszlású változók). A nagy számok törvénye formájában Chebyshev. A koncepció az esemény gyakoriságát. Statisztikai megértését valószínűséggel. A nagy számok törvénye formájában Bernoulli. A tanulmány statisztikai törvényszerűségek kiderült, hogy bizonyos körülmények között a teljes viselkedését nagyszámú véletlen változók majdnem teljesen elveszti a véletlen karakter, és lesz egy logikai (más szóval, véletlenszerű eltérések néhány átlagos viselkedés kioltják egymást). Különösen akkor, ha a hatása az összege az egyes kifejezések egyenletesen kicsi, az összeg az eloszlás közel normális törvény. A matematikai megfogalmazása ez az állítás megadott csoportok elmélete, az úgynevezett nagy számok törvénye. A nagy számok törvénye - az általános elv, amely az együttes hatása véletlenszerű tényezők eredményeként néhány nagyon általános feltételek, az eredmény szinte nem függ esélyt. Az első példa az elv szolgálhat gyakorisága konvergencia előfordulása véletlen esemény annak a valószínűsége egyre vizsgálatok száma (gyakran használják a gyakorlatban, például az előfordulási gyakorisága a válaszadó minőség a mintában, a minta alapján becsült megfelelő valószínűségek). A lényege a nagy számok törvénye van. hogy számos független kísérlet, az előfordulási gyakorisága az esemény közel a hitelességét. Központi Limit Tétel (CLT) (AM Ljapunov készítményben azonos eloszlású CB). Ha egymástól független SW X1. X2. Xn. van egyforma eloszlása törvény véges numerikus jellemzőkkel M [Xi] = m, és a D [Xi] = s 2. majd amikor n ® ¥ elosztó jog CB tetszőlegesen közel van a normális eloszlás N (n × m,). Következmény. Ha tételben ST. majd amikor n ® ¥ elosztó jog CB Y tetszőlegesen közel van a normális eloszlás N (m, s /). Tétel de Moivre-Laplace. Let SW K - a szám a „sikerek” n Bernoulli kísérlet rendszer. Ezután n ® ¥, és egy rögzített értéket a valószínűsége „siker” egy teszt a forgalmazási jog p SV K tetszőlegesen közel van a normális eloszlás N (n × p,). Következmény. Ha a feltétel Tétel K helyett fontolóra NE NE K / N - jelentése „sikerek” a N által Bernoulli kísérlet, annak eloszlása a törvény n ® ¥ és egy rögzített p értékét kapja tetszőlegesen közel van a normális eloszlás N (p,). Megjegyzés. Let SW K - a szám a „sikerek” n Bernoulli kísérlet rendszer. eloszlás törvény egy CB binomiális törvény. Ekkor n ® ¥ binomiális törvénynek két marginális eloszlás: Raspredelenie Puassona n (amikor n ® ¥ és L = n × p = const); n Gauss-féle eloszlás N (n × p,) vagy (amikor n ® ¥ és p = const). Példa. „Siker” valószínűsége egy próba csak p = 0,8. Mennyit kéne költeni teszteli a valószínűsége legalább 0,9 lehet számítani, hogy a megfigyelt mértéke „siker” a rendszer a Bernoulli-kísérletsorozat eltérni a valószínűsége p legfeljebb e = 0,01? Határozat. Összehasonlításképpen, megoldjuk a problémát kétféleképpen történhet: a) alapján a második Csebisev-egyenlőtlenség, van: b) A tétel a de Moivre-Laplace, és megjegyezni, hogy ha a CB Y N (m, s), kapjuk: Ezért :. azaz majdnem négyszer kevesebb. Az így kapott érték olyan nagy, hogy a hiba használt képlet elhanyagolható. Probléma 2. sávban ellenséges erődítmény végzett salvo 100 db. Amikor égetés ilyen fegyvert az egyik számának várható eredmények 2, és a standard eltérés a száma megegyezik a 1.5. Keressen egy hozzávetőleges valószínűsége, hogy egy sávban az ellenséges erődítmények esik 180-220 kagyló. Probléma 3. ellenfél támadások szalag dúsítás alkalmazásával előfordulása 50 tartályok. Annak a valószínűsége, a selejtezési a tartályok ebben a csatában 0.4. Ha le van tiltva legalább 35% -át a tartály, az ellenség megáll a támadó. Ahhoz, hogy megtalálja a valószínűsége, hogy az ellenség nem hajlandó támadni. Az alábbi állítások és tételek képezik az alapját a törvényi az általános neve a nagy számok törvénye. Az első Chebyshev egyenlőtlenség. Ha X ³ 0 NE véges értéke m = M [X], majd bármely e> 0 igaz: A második (fő) Csebisev egyenlőtlenség. Ha a NE véges értékek X m = M [X] és s 2 = D [X], majd bármely e> 0 igaz: Szekvenciát X1. X2. Xn. Ez az úgynevezett konvergens valószínűsége, mint n ® ¥ NE X (szimbólum: ha n ® ¥), ha bármely tetszőlegesen kis e> 0 teljesül. vagy, más szóval, bármilyen tetszőlegesen kis számú e> 0 és d> 0 számra létezik olyan K, úgy, hogy minden n> k az alábbi feltételt: Tétel (nagy számok törvénye formájában Chebyshev). Ha egymástól független SW X1. X2. Xn. véges értékek M [Xi] = mi és a D [Xi] = Si 2 £ s 2. bármely e> 0 a következő: vagy ahol n ® ¥. Következmény. Ha a feltétele a tétel SV X1. Xn. értéke azonos M [Xi] = m, akkor bármely e> 0 a következő: vagy ahol n ® ¥. Tétel (nagy számok törvénye formájában Bernoulli). Let SW K - a szám a „sikerek” n Bernoulli kísérlet rendszer. Ekkor n ® ¥ gyakorisága „siker” konvergál a valószínűsége p, ahol p - annak a valószínűsége, „siker” egy teszt, azaz a.: ha n ® ¥ vagy bármely e