Hogyan számoljuk ki határait funkciók
§ 20. Limit funkció
203. A korlátozó funkció y = f (x) x-> oo.
Vízszintes asymptote. A b szám az úgynevezett limit funkciója, mint a ha számától függetlenül készítették, van egy szám, amely az összes egyenlőtlenség. Írja :.
Geometriailag, ez azt jelenti, hogy az ütemezés funkció kiválasztásának elegendően nagy értékű végtelenül megközelíti egy egyenes vonal, azaz a. E. A távolság a gráf pont közvetlen a távolabbi pontjáról a végtelenségig lehet kisebb, mint bármelyik Direct nevű ebben az esetben a vízszintes aszimptotáját a grafikon y = f
Vegyük például azt a funkciót ez a funkció van. Megjegyzendő, hogy „minél nagyobb a választott érték az az érv, annál kevésbé eltér a nulla értéket a függvény, és ez a
különbséget lehet tenni kisebb adott pozitív szám, pl. azt jelenti. Ezt támasztja és geometriailag: az egyenes vonal vízszintes aszimptotájának a grafikont a funkció (ábra Közvetlen lehet egy vízszintes aszimptotájának a grafikon a funkció és a választott kellően nagy modulusú, de a negatív értékek az érvelés (97. ábra), akkor azt mondjuk, hogy a szám b a határ funkciója, mint a és .. írta: például,
Végül a vonal lehet vízszintes aszimptotája a függvény grafikonját, mikor és mikor. Például, egy egyenes vízszintes aszimptotájának a függvény grafikonját. Ebben az esetben azt mondjuk, hogy a szám b a korlátozó funkció elérése és írjon :. Tehát a valódi egyenlőség
A b szám az úgynevezett limit funkciója, mint a
ha számától függetlenül készítették, van egy szám, amely az összes egyenlőtlenség
A b szám az úgynevezett korlátozó funkció annak érdekében, hogy az első számú vesszük, van egy szám, amely az összes olyan, hogy az egyenlőtlenséget.
Ismerve limit funkció vízszintes asymptote konstruálható gráf (ha a határérték 6, a vízszintes aszimptotával); vissza: ha ismerjük a vízszintes aszimptotáját a grafikon, arra lehet következtetni, a határán van - egy vízszintes asymptote, akkor
204. megtalálása határértékek x-> oo.
Kiszámításához a határait funkciók használata esetén a következő tétel a műveletek a külső:
Példa 1. Számítsuk
Határozat. Elosztjuk a számláló és a nevező a Terminusonként hogy további
Mivel (lásd. P. 203), akkor használja tételek kapjunk.
Példa 2. Keresse meg a vízszintes aszimptotáját a grafikonon mikor.
Határozat. , Meg kell számítani a határ a funkciót találni a vízszintes asymptote meg. van
Ennélfogva a vízszintes aszimptotáját a függvény grafikonját.
205. A határa függvény egy ponton. Folytonos függvények.
Vegye figyelembe, hogy grafikus funkció ábrán látható 100. Ez egy másik funkció, különböznek viselkedésükben a ponton Ha mindhárom esetben azt látjuk, hogy minél közelebb, minél kisebb az érték, a függvény vagy különböző száma b - ez a különbség jellemzi a kifejezés, ill. Bármelyik szóban forgó funkciók mondják, hogy a határ a funkció felé tart egy olyan b; levelet, illetve:
Hangsúlyozzuk ismét, hogy ez a függvény értéke a ponton is (és még a létezését vagy nem létezését ez az érték) nem veszik figyelembe.
Meghatározása az alábbiak szerint történik: a szám b hívják a határ a funkció hajlamos felé, ha bármilyen számot vesszük, minden elég közel van egy érték, azaz az összes szomszédságában egy pont esetleges kivételével talán éppen ez a lényeg .. az egyenlőtlenség
Térjünk vissza ismét 100. ábra Megjegyezzük, hogy a függvény, amelynek grafikonja ábrán látható 100 és az egyenlőség Ha ez a funkció az úgynevezett folyamatos egy.
Ha a függvény folytonos minden pontján az intervallum, akkor azt mondják, hogy a folyamatos ebben az intervallumban. Ha folyamatos függvény az intervallum a és b pontok és a pont a törekvés intervallum a és b pontok értékei rendre hajlamosak függvény értékei az úgynevezett folyamatos az intervallum
206. A függőleges asymptote.
Függvény grafikonját ábrán látható 101 és a következő tulajdonságokkal rendelkezik: bármilyen számot veszünk, Megtalálható a szomszédságában egy olyan, hogy minden ezen a környéken megfelelő koordinálása grafika mod lesz, amely ... Azt mondják, hogy a vonal a függőleges aszimptotájának a grafikon a funkció és írási: Például, a grafikon a függvénynek függőleges asymptote és egy vízszintes aszimptota y = 0 (101. ábra, b.); függvény grafikonján egy függőleges asymptote); funkció diagram függőleges aszimptotákkal és t. d.
Ha a ponton egy folytonos függvény, prichemr, a függőleges aszimptotájának a grafikont a funkció
Például, a grafikon a függvény két függőleges aszimptotákkal: a megadott értékek a nevező nulla.
207. értékelése a korlátokat a funkció.
Kiszámításához a határait funkciók közül a legfontosabbak a következő tényeket:
1) olyan elemi függvény t. E. A függvény analitikusan racionális (lásd. P. 48), egy irracionális (lásd. P. 48), transzcendentális (lásd. P. 118) expresszió, vagy összetétele a következő révén véges számú aritmetikai műveletek, folyamatos bármely ponton belül a domain a funkció (azaz bármikor tartozó domain a funkció, valamint néhány szomszédságában ..); Ha egy belső pontja a domain a komplex funkció és a kompozit függvény folytonos a ponton;
2) ha a függvény folytonos a
Példa 1. Számítsuk ki.
Határozat. A pont egy belső pontja a domain a funkció azt jelenti, hogy a függvény folytonos
ezen a ponton. Tehát van példa, 2. Számítsuk
Határozat. A függvény folytonos. Van:
3. példa kiszámolása
Határozat. A funkció nem határozza meg azt a pontot, mivel ezen a ponton a nevező nulla. Mivel a számláló nem nulla ponton, akkor írj: (lásd 206 ..); vonal függőleges aszimptotája a függvény grafikonját
4. példa Számítsuk
Határozat. Itt, ellentétben az előző példában, mind a számláló és a nevező értéke 0 at. Ilyen esetekben, a határ a kiszámításához szükséges identitás transzformációk A expressziós meghatározó funkció.
Mióta az érték a függvény a ponton nem veszik figyelembe (lásd. P. 205), a frakció lehet csökkenteni kapjunk. Így
5. példa kiszámítása
Határozat. Ha mind a számláló és a nevező a fellebbezés
nulla. Végezze el az alábbi átalakítások a kifejezés: