Hogyan számítsuk ki a hármas integrál
§ 12. kiszámítása hármas integrálok
Tegyük fel, hogy a térbeli (háromdimenziós) területen V, által határolt zárt felületet S, a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
.. 1) minden sora tengellyel párhuzamos át húzott a belső (azaz nem feküdt a határon S) V-régiójának egy pont S metszi a felület két ponton;
2) a teljes terület V vetíti az xy-síkban a megfelelő (kétdimenziós) terület
3) minden része a V régió, levágta egy sík párhuzamos az egyes koordináta síkok is a tulajdonságok 1) és 2).
A V-régiót, ahol az ingatlan, akkor hívja a pontos háromdimenziós környezetben.
A helyes háromdimenziós régiók, például, ellipszoid, derékszögű parallelepipedon, tetraéder, és így tovább. G. példa szabálytalan háromdimenziós régió ábrán adtuk meg. 332. Ebben a részben kell vizsgálni csak a megfelelő területeken.
Hagyja a felületet határoló régió V fenekű van az egyenletet, és a felület határoló ezen a területen felülről, amelynek egyenlete.
Bemutatjuk a koncepció a hármas integrál a régióban V függvényében három változó meghatározott és folyamatos a területen V. Tegyük fel, hogy a D-szakaszban - a nyúlvány V a síkra - által határolt vonalak
Ezután három alkalommal integrál függvény a régió V
Megjegyzendő, hogy ennek eredményeként az integráció helyettesítéssel és a korlátokat a fogszabályozó kap egy függvény x és y. Továbbá, a számított kettős szerves ennek a funkciónak a területre D, ahogy fent tárgyaltuk.
Itt egy példa számítási hármas integrál a terület V. példa 1. Értékeljük a hármas integráns funkciójának a V-régió által határolt síkok
Határozat. Ez a terület helyes, akkor korlátozza a felső és alsó síkok és vetíti a xy-síkot jobb lapos régió D, amely egy háromszög által határolt egyenes Ezért hármas integrál kiszámítása a következőképpen:
Vonatkozó korlátozások e kettős integrál a régió D, fogadása
Nézzük néhány tulajdonságát a hármas integrál. Az ingatlan 1. Ha V-régiót két részre osztott egy sík párhuzamos síkban koordinátáit, a háromszoros integrál területén V összege területek hármas integrálok.
Ennek bizonyítéka az ingatlan végezzük, pontosan ugyanúgy, mint a bizonyíték, hogy a megfelelő ingatlan kettős integrálok. Ezért nincs szükség annak megismétlésére újra.
Következmény. Ha a partíció V régió domének véges számú párhuzamos síkokban koordináta síkok, az egyenlőség
Az ingatlan 2 (tétel értékelése hármas integrál). Ha M - rendre a legkisebb és legnagyobb értékét a függvény a régióban V, a következő egyenlőtlenség teljesül: ahol V a térfogata a szakterületen hármas integráns funkciójának a terület fölött V.
Bizonyítás. Mi első becslés - a belső integrál
a hármas integrál
Így a belső integrál nem haladja meg a kifejezést
Ily módon, Tétel 1 § mintegy kettős integrálok kapjuk (jelző által D V-régiója a nyúlvány egy síkban
De a két utóbbi időben szerves kétszeresével egyenlő integrálját funkciója ezért egyenlő a térfogata a régióban, ami zárt felületek között r. E. kötet terület V. Ezért,
Hasonlóképpen azt bizonyítja, hogy így ingatlan 2 bizonyított.
Az ingatlan 3 (a középérték-tétel). Három-idő szerinti integrálja egy folytonos függvény alatt a régióban V a termék eredeti térfogatának a függvény értékét egy bizonyos ponton a P V régió, m.
A bizonyíték az ingatlan végzik ugyanolyan módon, mint a bizonyíték tulajdonságai hasonlóak a kettős integrál (lásd. 2. § Tulajdonság 3, (4) egyenlet). Most tudjuk bizonyítani a tétel a vychislenyi hármas integrál.
Tétel. Triple integrálja a funkciót a megfelelő V-régiót egyenlő háromszorosa a integrál az ugyanezen a területen t. E.
Bizonyítás. Osztjuk a domain V párhuzamos síkok koordinátarendszerben a megfelelő területekre: Mint fent, jelöli a háromszoros integrál függvény a régió V, és a három idő szerinti integrálja ezt a funkciót a terület fölött, majd alapján a vizsgálat az ingatlanok tudok írni az egyenlőség
Amikor a leírásban a jobb oldalon az egyenlet, transzformáljuk a (2) képletű:
ahol - egy pont régió
A jobb oldalon a egyenlőség integrál összeg. A feltételezés, a függvény folytonos a területen V, és így korlátozza az összeg, amely hajlamos arra, hogy nulla, és ott van a legnagyobb átmérője egyenlő hármas integráljával a funkció a területen V. Így, azáltal, hogy a határértéket a (4) egyenlet, megkapjuk
vagy végül a csere áll a jobb és bal oldalán a kifejezés,
Itt az egyenletek a felületek határoló megfelelő V-régióját a felső és alsó. Lines korlátozzák terület D, amely a vetítési terület V az xy síkban.
Megjegyzés. Hasonló ahhoz, ahogy ez volt a helyzet a kettős integrál, hármas integrál újabb rendelést integráció a változók, a másik kívül, kivéve, persze, ez lehetővé teszi az alakja V.
Kiszámítása a kötet egy test segítségével a hármas integrál. Ha az integrandus
a hármas integrál a régióban V kifejezi a hangerőt a V régió:
Példa 2. Számítsuk ki a térfogatát egy ellipszoid
Határozat. Ellipsoid (. Ábra 335) korlátozott alább és a felső felülete - vetülete egy felülete a ellipszoid a Oxy síkban (régió D) egy ellipszis - Ennélfogva, csökkentve a térfogatát számítás a számítás a hármas integrál, megkapjuk
Kiszámításánál a belső szerves állandónak tekintett. hogy a helyettesítés
Az y változó úgy változik, változott a korábbiakhoz képest. Behelyettesítve a szerves új határértékek, megkapjuk
Ha én kap a kötet egy gömb: