Az átmenet az új alapon
Poort K két bázis: a régi el. e2. en, és egy új e l *. e2 *. en *. Minden új alapon vektor felírható lineáris kombinációja alapján vektorok a régi:
Az átmenet a régi és az új bázis, akkor beállítani az átmenet mátrix
Megjegyezzük, hogy a szorzás együtthatók az új alap vektorok a régi alap formájában oszlopok sorok helyett ennek a mátrixnak.
Mátrix A - nonsingular mivel egyébként annak oszlopok (és ennélfogva a alap vektorok) lineárisan függ. Következésképpen, ez van egy inverz mátrixot A -1.
Helyettesítő ebben az egyenletben el * értékeket. e2 *. en * a korábbi rendszer:
Tekintettel a lineáris függetlenség vektorok el. e2. en minden együttható az utolsó egyenlet nem nulla. Így:
vagy mátrix formában
Szorzás, mindkét végén egy -1. kapjuk:
Tegyük fel például, hogy az alapján el. e2. e3 adott vektor a1 = (1, 1, 0), a2 = (1, -1, 1), a3 = (-3, 5, -6) és b = (4, -4, 5). Mutassuk meg, hogy a vektorok al. a2. a3 is alapot, és kifejezni ennek alapján vektorb.
Megmutatjuk, hogy a vektor al. a2. a3 lineárisan függetlenek. Ahhoz, hogy ezt elérjük, ellenőrizze, hogy a rangot mátrixot közülük három:
Megjegyezzük, hogy a kezdeti mátrix nem más, mint az átmeneti mátrix A. Tény, hogy a kapcsolat a bázisok el. e2. E3 és mtsai. a2. A3 lehet kifejezni a rendszerben:
+ 6 = 0 - 3 - 0 - 5 a 6 + 4 =
lineáris operátorok
Lineáris operátor (transzformáció mapping) n-dimenziós vektortér nevezett praviloY = f (x), amellyel az egyes X vektort van rendelve egy egyedi vektory, amelyben a tárolt lineáris műveleteket vektorok, azaz a tulajdonságúak a helye:
1) f (x + z) = f (x) + F (Z) - additivitását tulajdonsága az üzemeltető;
2) f (X) = f (X) - egyenletessége tulajdonsága az üzemeltető.
Sem tudja bizonyítani, hogy minden lineáris operátor felel meg egy négyzetes mátrix ezen az alapon. Fordítottja is igaz: Mátrix összes n-ed rendű lineáris operátor megegyezik az n-dimenziós térben.
Ezért, a lineáris transzformáció lehet meghatározni más módon: lineáris operátor n-dimenziós vektortér, adja meg a négyzetes mátrix nevezzük transzformációs hogy bármely vektoruX rögzített oszlop formájában mátrix, asszociálódik vektor előállítása A (X) = A * x =.
A mátrix az úgynevezett mátrix szereplő Ennek alapján, valamint a rangsorban ez a mátrix rangját az üzemeltető.
Például, ha lineáris mátrix operátor van adva, akkor otobrazhenieYvektoraX = (4, 3, 1) egyenlő lesz
.
Megjegyezzük, hogy az identitás mátrix meghatározza azonosságukat átalakítás (az identitás operátor), mert szorozni egy vektor, megkapjuk az azonos vektort.
A nulla mátrixot úgy definiáljuk, mint nulla üzemeltető. térképek minden vektor a tér a nulla vektor.
Ez könnyű, hogy megbizonyosodjon arról, hogy a diagonális mátrix, az átlós amelyet érdemes ugyanazt a számot, az üzemeltető határozza meg a szorzás a vektort ezt a számot.
Tétel. A mátrix és A * az azonos sor a bázis el. e2. és en el *. e2 *. en * kapcsolódnak az A = C -1 * AC ahol C - a mátrix az átmenet a régi és az új alapokon.
Bizonyítás. Jelöljük Yotobrazhenie vektoraXv baziseel. e2. en. és ugyanaz a vektor alapján el *. e2 *. en * jelölések X * és Y *. Mivel a C - átmenet mátrix, írhatunk:
Megszorozzuk a bal oldalon az első egyenletet az A mátrix:
Mivel AX = Y, poluchimY = ACX *. azaz CY * = * ACX. Szorzása mindkét oldalán az egyenlet által -1. kapjuk:
C -1 CY * = C -1 * ACX
Mivel Y * = A * X *. A = C -1 * AU, szükség szerint.
Tegyük fel például, hogy az alapján el. e2 mátrix A =. Keresse meg a mátrix ezen szereplő alapján el * = el -2e2. e2 * = 2el + e2.
Ehhez konstruáljuk az átmeneti mátrix C = és annak fordított mátrix C -1 |. C | = 5 ,,. majd