Angles, matematika
Két egyenes vonalak BA és BC (13.), Metszik ugyanazon a ponton B, B pont van kialakítva egy-egy saroknál.
Meghatározása a szög. Angle nevezik határozatlan része a sík által határolt két egymást metsző egyenes vonalak. Az a szög olyan mennyiség, amely meghatározza a dőlést egy egyenes vonal a többi.
Fél ugla.Peresekayuschiesya vonalak nevezik oldalán a szöget.
A szög csúcspontját. A lényeg a két egyenes metszéspontját nevezzük a szög csúcspontját. Nagysága a szög független a hossza az oldalán olyan oldalra szög továbbra is a végtelenségig.
A név a szöget. a) Angles úgynevezett levél, amely áll a csúcson; így a szög ábrán. 13 az úgynevezett szög B. b) Ha a tetején több szögek, a szögek említett három betűt, hogy állni a felső és két oldala. Ebben az esetben a levél tetején a hangsúlyos és írásbeli közepén.
Ábrán. 13, a B szög az úgynevezett ABC szög. BA és BC vonal - a két fél, és a B pont - a szög csúcspontját.
Így az ABC szög van a B szög, vagy
Abc = szög sarokban B.
Csillagok ugla.Slovo szög znakom∠ helyébe néha.
Így az előző egyenlet ábrázolnak írás:
Abban az esetben, ha a pont jön ki egy pár sort a B pontban, több szögből.
Ábrán. 14 a B pontból menjen egyenes vonalak BA, BC, BD, és a tetején a B, vannak szögek ABC, CBD, ABD.
Szomszédos sarkokon. Két szög hívják a szomszédos, ha van obscheyu top, egy közös oldala, és a másik kettő mindkét oldalán a közös oldalon.
ABC és a CBD szögek (ábra. 14) egymással szomszédos szögek. Van egy közös B csúcs, a teljes oldalán BC, a másik két oldal BA és BD fekszenek egymás tetejére és egymás alatt közös BC oldalt.
Angles megváltoztatják méretüket, ha a dőlés megváltozik az egyik oldalról a másikra. Két szög, amelynek közös vertex, a szög, amely beleillik a másik sarokban, ez az úgynevezett nagy szögben. A 14. ábra
év. ABD> HS. ABC és HS. CBD <уг. ABD.
Ahhoz, hogy a fogalom a kölcsönös két legnagyobb szögek, különböző csúcsok, egymásra egyik irányból a másikba. Alkalmazásuk során, hogy összekapcsolják a felső és lefelé az egyik oldalon, míg a másik irányban lehetővé teszi, hogy hasonlítsa össze az értéküket. Ahhoz, hogy összehasonlítsuk a két szög ABC és DEF (. Ábra 15) viszünk fel az ABC szög a DEF szögben úgy, hogy az oldalsó készült EF BC oldal, E pont egybeesik a B pont; majd az oldalsó ED vehet három pozíció, akkor egybeesik egy oldalon BA, esik, és ki az ABC szög.
a) Ha az ED vonalon egybeesik a BA-tételek, a szögek nevezzük egyenlő
b) Ha az ED vonalon esik az ABC szög, és azon álláspontja BG, ABC DEF szög nagyobb szög
év. ABC> HS. DEF.
c) Ha az ED vonalon kívül esik sarok ABC szerint BH irányba ABC DEF szög kisebb, mint a szög
év. ABC <уг. DEF.
Összeadás, kivonás, szorzás és osztás szögek. Két szomszédos ABC és az a szög CBD (jún. 14) formájában egyik sarokban ABC. Angle ABD nevezzük szögek összege az ABC és a CBD. Ezt fejezi ki írásban az alábbi egyenlettel:
∠ABD = ∠ABC + ∠CBD (a)
(A) van egyenlőség:
t. e. az ABC egy szög-különbség a szögek ABD és a CBD, és az a szög CBD a különbség a szögek ABD és az ABC.
A szögek összeadni és kivonni.
Ha az O pont (ábra. 16) egyenlő több szomszédos sarkokon, t. E. Ha
∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠DOE,
a szög AOC, egyenlő a szögek összege AOB, BOC jelentése két sarkok AOB,
∠AOC = ∠AOB + ∠BOC, nyomvonal. ∠AOC = 2AOB.
Szög AOD három sarkok AOB
Ezzel szemben, AOB szögfelezővel az AOC szöget, szöget AOD harmadik negyedévben szög AOE.
AOB = ½ AOC = 1/3 AOD = ¼ AOE.
Ebből arra következtetünk, hogy a szögek a mennyiségek nem csak összeadni és kivonni, hanem szorozni és osztani egy absztrakt számot.
Ha két szomszédos szög ACD és DCB (június 17.), a két fél a CA és CB van egy sorban, ezek az úgynevezett szomszédos.
Szögek. Szögek azok, amelyekben az egyik oldalon a közös, és a másik kettő ugyanazon a vonalon.
Ha a vonal CD fordult a pont a C, úgy a helyzetét CE, szög ACD csökkenő fellebbezést az ACE szög, és a szög BCD növekvő fellebbezést a szög ie. CD vonal, folyamatos fordulni elfogadhatnak olyan helyzet, amelyben két szomszédos sarok teszi egyenlővé. Amikor két szomszédos ACD szög és DCB vannak (jún. 18), ezek az úgynevezett merőlegesen.
Ebben az esetben a CD vonal az úgynevezett merőleges az AB egyenesre, vagy csak merőleges az AB egyenesre.
A rajzon, 19 által kidolgozott derékszögben másik nélkül csatlakozik ahhoz.
Jobb szög egyenlő az egyik szomszédos sarkokon.
A rendes egyenes vonal képezi a másik vonalon derékszög.
A rajzon, a szögek 18 és ACD DCB, maradék szomszédos és egyenlő szögek kapott cím. Egyenáramú vonal merőleges lesz a vonal AB. Ez a kölcsönös kapcsolat a két vonal néha írásba: CD ⊥ AB.
Mivel az AB vonal is merőleges a vonal CD, a vonal AB és CD egymásra merőleges, t. E. Ha a CD ⊥ AB, akkor az AB ⊥ CD.
Sole merőleges. Kölcsönös találkozásánál két merőleges vonalak úgynevezett talpak merőleges.
C pont (jún. 18) merőleges egyedüli CD.
Minden pontján az AB vonal lehet merőleges az AB egyenesre.
A merőleges vonal (AB) egy pont a vonalon, majd emelje fel a merőleges. Végre a merőleges (DC), hogy a vonal (AB) a (d) pont kívül fekszik a vonalon, akkor dobni merőleges (ábra. 18).
Ferde vonal. Minden vonal nem merőleges a másik sorban az úgynevezett felé hajolt.
Az ábrán vonal CE 20 dönti, hogy az AB vonal és a vonal CD merőleges az AB egyenesre.
EKB szög kevésbé közvetlen, de nagyobb, mint a derékszög ACE. EKB úgynevezett hegyes szögben és tompaszög ACE.
Akut ugolest bármilyen szögben kevesebb, mint egy derékszög. és ugolest tompaszög közvetlenebb.
Az azonos nevű, és ellentétben a sarkokat. Két akut vagy tompaszög úgynevezett két azonos alakú és két sarka, amely egy akut és egy tompa nevű ellentétesen.
Ez képezi egy ferde vonal CE (ábra. 20) két szomszédos egyenes AB szöge, amely kisebb, mint egy, és a másik hosszabb egyenes, t. E. Egy akut és egy tompaszög.
3. tétel A választott pont egy egyenes vonal, akkor megemelheti akár azt, csak egy merőleges.
Mivel az AB vonal és egy pont rajta C (20.).
Meg kell bizonyítani. hogy lehetséges felemelni egyetlen merőleges.
Bizonyítás. Tegyük fel, hogy lehetséges a C pont az AB támasszon két egymásra merőleges (ábra. 20) CD és CE. Az ingatlan a merőleges
év. DCB = yi. ACD (a)
év. BCE = yi. ACE.
Ha alkalmazzuk az első része az utolsó egyenlőtlenség ECD szög, megkapjuk az egyenlőtlenség
év. BCE + HS. ECD> HS. ACE, vagy HS. BCD> HS. ACE.
Cseréje egyenlőtlenség yi. ACD BCD egyenlő a szög (a), megkapjuk
év. DCA> HS. ACE,
egyenlőtlenség, nyilvánvalóan abszurd, mert a rész nem lehet több, mint a teljes, ezért azt feltételezik, hogy akkor támaszthat két egymásra merőleges, vezet abszurditás, ezért hamis. Hamisságát a feltételezésen alapul venni, hogy a megfelelő helyzetben nem vezethető le a téves következtetést, ezért a tétel igaz.
Módszer érvényességének bizonyítására ennek a tételnek, és jelzi, hogy lehetetlen a abszurditását bármely más feltételezések említett bizonyítási módon ellentmondás vagy egy olyan módszert, hogy véget abszurditás.
4. Tétel Minden derékszögben egyenlő.
Tegyük fel, hogy két pár szög: egy pár sarkok alkotják az ACD és a DCB, és más sarkaiban EGH HGF, és ezért, CD ⊥ AB és HG ⊥ EF (21 funkciókat.).
Azt kell bizonyítani, hogy a szögek egyenlők.
Bizonyítás. Ró EF egyenes az AB pont G-pont C, a vonal GH akkor megy on-line CD, mivel a C emelheti fel egyetlen pont egy merőleges ezért derékszög sarokban DCB = közvetlen HGF.
Következtetés. Derékszög állandó.
Intézkedés szögek. A mérés a szögek a derékszögű, mint egy állandó érték, hogy az egység összehasonlítást. Ennek nagyságát kijelölt leveleket d.
Ebben az esetben
bármely hegyesszög
Minden szögből fejezzük egyenes. Tegyük fel például, hogy a szög ½ d, 2/3 d, stb ...
5. Tétel összege két szomszédos szög egyenlő a két jobb.
Vannak szögek ACD és DCB (22.).
Azt kell bizonyítani, hogy az ACD + DCB = 2d.
Bizonyítás. A C pontból felálló merőleges CE, majd
ACD = ACE + ECD = d + ECD
DCB = EKB - ECD = D - ECD
Hozzáadja ezeket egyenlőségek, van:
ACD + DCB = ACE + EKB = 2d (QED).
Két szomszédos sarok kiegészítik egymást, két sorban, és ezért nevezik kiegészítő szögek.
5. tétel következik a vizsgálatot. Egy pár szomszédos szögek egyenlő a másik pár szomszédos szögek.
6. Tétel (fordított 5. tétel). Ha az összeg két szomszédos szög egyenlő két derékszöggel, akkor a másik két fél egy egyenesen vannak.
Hagyja, hogy a összeg két szomszédos szögek ACD és DCB egyenlő két derékszöggel (ábra. 23).
Azt kell bizonyítani, hogy az ACB egyenes vonal.
Bizonyítás. Tegyük fel, hogy az ACB egy szaggatott vonal, és a folytatása a AC vonal CE sor, akkor
A két érték egyenlő egy és ugyanazon harmadik egyenlő (axiómát 3), így
ACD + DCB = ACD + DCE
amely elhagyja csökkentésében
Végül egy nevetséges (része egyenlő a teljes, lásd. Max. 1), így ACB vonal egy egyenes vonal (szükség szerint).
Tétel 7. Az szögeinek összege, amelynek csúcsa egy ponton, és egyik oldalán elrendezett az egyenes egyenlő két jobb.
ACD adott szögek, DCE, ECF, FCG, GCB, amelynek közös csúcsa a C pont és egyik oldalán helyezkedhet az AB vonal (ábra. 24).
Annak bizonyítására, hogy
ACD + DCE + ECF + FCG + GCB = 2d.
Bizonyítás. Tudjuk, hogy az összeg a két szomszédos szögek ACF és FCB egyenlő két jobbra (Vol. 5).
Mivel ACF = ACD + DCE + ECF és FCB = FCG + GCB helyett a szög ACF FCB és azok értékeit, azt találjuk:
ACD + DCE + ECF + FCG + GCB = 2d (QED).
Tétel 8. A összege minden szögből, köré egy pont egyenlő négy egyenes.
Tekintettel szögek AOB, BOC, KOI, DOE, EOA, amelynek közös vertex O és körül elhelyezett az O pont (ábra. 25).
Annak bizonyítására, hogy
AOB + BOC + COD + DOE + EOA = 4D.
Bizonyítás. EO meghosszabbítja felé az irányt OG (június 25), majd a
GOB + BOC + COD + DOE = 2d.
Hozzáadja ezeket egyenlőségek, van:
EOA + AOG + blokkcsoport + BOC + COD + DOE = 4D.
Mivel a AOG + GOB = AOB, a
EOA + AOB + BOC + COD + DOE = 4d (QED).
A szög ACB DCE és a szög BCD szög a függőleges szögben úgynevezett ACE (jún. 26).
Függőleges szögek. Függőleges szögek azok, amelyek oldalai alkotják az egyik fél, hogy továbbra másik irányból.
Tétel 9. A függőleges szög egyenlő.
Vannak függőleges szög (június 26.) ACB és DCE, ahogy BCD és ACE.
Meg kell mutatnunk, hogy az ACB = DCE és BCD = ACE.
Bizonyítás. By 5. tétel van a egyenletet:
ACB + BCD = 2d (összege két szomszédos szögek)
BCD + DCE = 2d
ACB + BCD = BCD + DCE
ahol elvegyék az Egyenlő sarokban a BCD találunk
Hasonlóképpen, azt mutatják, hogy
Ravnosekuschaya (szögfelező) van az elválasztó vonal szögfelezővel.
Az ábrán, 27 a szögfelező BD ha ∠ABD = ∠DBC.
Tétel 10. A szögfelezői két szomszédos szögek egymásra merőleges.
Ez a szomszédos szögek ACB és BCD (jún. 28). Az felezővonal vonalak CE és a CF ossza szögek BCD és BCA felében, így BCF = PBI ACE = EKB.
Azt kell bizonyítani, hogy az EK-⊥ CF
Bizonyítás. azzal a feltétellel,
EKB = ½ ACB, BCF = ½ BCD
Hozzáadja ezeket egyenlőségek, van:
EKB + BCF = ½ ACB + ½ BCD = ½ (ACB + BCD).
Mivel ACB + BCD = 2d, a
EKB + BCF = ½ · 2d = d.
Mivel az EKB + BCF = ECF, a
Szög ECF vonal m. E. CE és a CF kölcsönösen merőleges vonal (QED).