A számítás a hármas integrál 1

Előadás 9.Vychislenie hármas integrál. Görbe vonalú koordináta rendszerben. Jacobi és geometriai jelentése. Változás a változók többszörös integrálok. Az átmenet a hengeres és gömb alakú koordináták hármas integrál.

Az eljárás hasonló a hármas integrál kiszámítása megfelelő művelet a kettős integrál. Leírni, mi a koncepció a megfelelő háromdimenziós tartomány:

Definíció 9.1. A háromdimenziós régió V. által határolt zárt felület S, az úgynevezett reguláris, ha:

  1. Bármely sor tengelyével párhuzamosan Oz, és áthúzzák a belső pontja terület S metszi a két pontot;
  2. az egész területet V vetítik xy-sík szabályos kétdimenziós régió D;
  3. Bármely része a V régió, elválaszthatók annak síkjával párhuzamos bármelyik koordináta síkok, a tulajdonságai 1) és 2).

Tekintsük a rendszeres V régió, által határolt felső és alsó felületek z = χ (x, y) és z = ψ (x, y) és vetíti az XY síkban a megfelelő területen D, amelyben x változik tól b, által határolt görbék y = φ1 (x) és y = φ2 (x) (1. ábra). Definiáljuk V folytonos f (x, y, z).

Definíció 9.2. Azt mondjuk, hogy egy hármas integráljának az f (x, y, z) V-régióját kifejeződése formájában:

Három alkalommal szerves ugyanolyan tulajdonságokkal rendelkezik, mint a kétszerese. Mi felsorolni őket bizonyíték nélkül, mivel ezek bizonyultak egy hasonló esetben a kettős integrál.

  1. Ha V-régiót két részre oszlik V1 és V2 párhuzamos síkban bármely koordináta síkok, a háromszoros integrál területén V összege az integrálok a háromszoros V1 és V2 területeken.
  2. Ha m és M - rendre a legkisebb és legnagyobb értékét a f (x, y, z) a területen V, az egyenlőtlenséget. mV ≤ IV ≤ MV, ahol V - térfogata a szakterületen, és a IV - tripla integrálját az f (x, y, z) a mező V.
  3. IV hármas integrálja egy folytonos f (x, y, z) alatt a régióban V a termék térfogatának V a függvény értékét egy bizonyos ponton P V régió: (9.2)

A számítás a hármas integrál.

Tétel 9.1. Triple integrálját a f (x, y, z) a megfelelő területen V egyenlő háromszorosa a integrál ugyanazon a területen:

Osszuk a domén V párhuzamos síkok koordináta síkok a korrekt N régiók. Ezután következik, hogy 1

,

ahol - a hármas integrálját az f (x, y, z) a területen.

Használata (9.2) képletű, az előző egyenlet átírható, mint:

.

A folytonossági feltételt f (x, y, z) az következik, hogy a határ az integrál összeg a jobb oldalon az egyenlet, és van egy hármas integrál. Aztán, átadva a határt, ezt kapjuk:

QED.

Hasonlóan az esetben a kettős integrál kimutatható, hogy a változás a sorrendben az integráció nem változik az érték a hármas integrál.

Példa. Számítsuk ki a szerves ahol V - a háromszög alakú piramis csúcsai a (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) és (0, 0, 1). A vetítés a xy síkban van a háromszög csúcsai (0, 0), (1, 0) és (0, 1). Bottom régió által határolt sík z = 0, és felülről - a sík x + y + z = 1. Most pedig, hogy egy hármas integrál:

Azok a tényezők, amelyek nem függnek a változó az integráció, Bani, lehet venni, mint egy jel a megfelelő egységes:

A görbe vonalú koordináta-rendszert a háromdimenziós térben.

  1. Egy hengeres koordinátarendszerben.

Hengeres koordinátái a P pont (ρ, φ, z) - a polárkoordináták ρ, φ vetülete e pont a síkra Oxi és applikáta adott Z pontjánál (2.ábra).

Képletek az átmenetet a hengeres, illetve derékszögű koordináták lehet beállítani az alábbiak szerint:

X = ρ cosφ, y = ρ sinφ, z = z. (9.4)

  1. A gömbi koordináta-rendszerben.

A gömb alakú koordináták pont pozícióját a térben határozza meg a lineáris koordináta ρ - távolság a pont a kezdete egy derékszögű koordináta-rendszer (vagy gömb rendszer pólusok), φ - poláris szög a pozitív fele tengely ökör és a vetítési pont az xy síkon, és θ - közötti szög pozitív ellipszisféltengelyek tengely oz és szegmens OP (3.ábra). Ebben az esetben,

Definiáljuk képletek az átmenetet a gömb derékszögű koordináták:

X = ρ sinθ cosφ, y = ρ sinθ sinφ, z = ρ cosθ. (9.5)

Jacobi és geometriai jelentése.

Tekintsük az általános cseréje esetén változók kettős integrál. Hagyja a síkban Oxy adott szakterület D vonal által határolt L. Tegyük fel, hogy x és y egységes és folyamatosan differenciálható függvények az új változók u és v:

X = φ (u, v), y = ψ (u, v). (9.6)

Tekintsük OUV derékszögű koordináta-rendszert, a P pont (u, v), amely megfelel a P pont (x, y) a régió D. Minden ilyen pontok képezik a síkban D OUV régió által határolt vonal L. Azt mondhatjuk, hogy az (9.6) létrehoz egy-egy levelezés között a pontok között területek D és D Ebben az esetben a vonalak u = const és

v = const a OUV síkban fog megfelelni néhány vonalak a síkban Oxy.

Vegyünk egy sík OUV téglalap alakú terület δS, által határolt vonal u = const, u + Au = const, v = const és v + Av = const. Ő találkozik az ívelt platform δS az Oxy síkot (4. ábra). Szögletes tekinthető oldalak is nevezhetünk, DS és a DS-t. Így δS = Au Av. Találd meg a területet ds. Jelöljük a csúcsot a görbe vonalú négyszög P1, P2, P3, P4, ahol

P1 (x1, y1), x1 = φ (u, v), y1 = ψ (u, v);

P2 (x2, y2), x2 = φ (u + Au, v), y2 = ψ (u + Au, v);

P3 (x3, y3), x3 = φ (u + Au, v + Av), y3 = ψ (u + Au, v + Av);

P4 (X4, Y4), x4 = φ (u, v + Av), y4 = ψ (u, v + Av).

Cserélje kis lépésekben Au és Av megfelelő arányokat. majd

Hogyan számítsuk ki a hármas integrál

Ebben a négyszög P1 P2 P3 P4 feltételezheti egy paralelogramma, és meghatározzuk annak a területen a képlet az analitikus geometria:

Definíció 9.3. A meghatározó az úgynevezett funkcionális determináns vagy Jacobi függvény φ (x, y) és a ψ (x, y).

Átadás a határ (9,7), megkapjuk a geometriai jelentése a Jacobi:

azaz Jacobi modul egy határa a terület aránya elenyésző területek DS és a DS-t.

Megjegyzés. Hasonlóképpen, tudjuk meghatározni a koncepció a Jacobi és annak geometriai jelentéssel az n-dimenziós térben: ha X1 = φ1 (U1, U2, ..., un), x2 = φ2 (U1, U2, ..., un), ..., xn = φ (u1 , u2, ..., un), a

Ebben a modulban ad Jacobi határa az arány „volume” kistérségi tér x1, x2, ..., xn és u1, u2, ..., un.

Változás a változók többszörös integrálok.

Megvizsgáljuk az általános megváltozása esetén a változók a példa a kettős integrál.

A régióban D az alábbi folytonos függvény z = f (x, y), mindegyik érték, amely megfelel az azonos értékű a Z = f (u, v) a régióban D, ahol a

F (u, v) = f (φ (u, v), ψ (u, v)). (9.9)

Tekintsük az integrál összeg

ahol az integrált összeget veszi át a megfelelő területen D. Hagyta, hogy megkapjuk a koordináta konverziós képletet kettős integrál:

Hasonlóképpen, egy hasonló képletű levezethető a hármas integrál:

ahol x = φ (u, v, w), y = ψ (u, v, w), z = χ (u, v, w),

és a régió V Oxyz tér jelenik meg a térben V Ouvw.

Az átmenet a hengeres és gömbi koordináták

hármas integrál.

Azt találjuk, a következő képlet segítségével (9.4), (9.5) és (9.12), Jacobians átmenet derékszögű koordináták a hengeres és gömb alakú:

  1. hengeres koordinátákat
  1. A gömbi koordináták

Ezután, a hármas integrál képletek az átmenet a hengeres vagy gömbi koordináták lesznek: (9,15)

,

ahol a jelentése a jelölés világosan kitűnik az előző szöveget.

  1. Kiszámoljuk a integráljának függvényében által határolt területen felületek x² + y² = 1, y = 0, y = x, z = 0, z = 1.
  1. Legyen integrandus u = 1, és a régió az integráció - egy labdát R sugarú origó középpontú. majd

.

Az anya az összes eszköz-készítés volt specialitások osztály „finommechanikai eszközök”, amely megnyitotta a 1961-ben a Gépészmérnöki Kar.
1976-ban a opto-mechanikai tanszék szervezte.