A hasonlóság háromszögek

Tétel 44. 1. jelenség. Ha két pár oldalán a háromszög arányos, és a szögek között kötött ezen oldal egyenlő, akkor a háromszög hasonló.
Bizonyítás. Legyenek a és b oldalán a háromszög ABC arányos az oldalról és „B” a háromszög A'B'C”. Transform az ABC háromszög hasonló a hasonlósági koefficiens k = a '/ a = b' / b. Aztán megint kapott háromszög A''V'S 'és a háromszög A'B'C "két pár egyenlő oldalú és egyenlő szögek között megkötött ezek a felek. Háromszögek A''V'S »és A'B'C« azonos az egyenlőség elve alapján háromszögek, a háromszögek hasonlóak az eredetihez.

Tétel 45. 2. jelenség. Ha három oldalról egy háromszög arányos a három oldalán a másik, akkor a háromszög hasonló.
Bizonyítás. Az egyik háromszögek transzformálására, mint úgy, hogy annak egyik oldala válik egyenlő a megfelelő oldalon a másik háromszög. Ezután kiegyenlített három pár oldalról, és a második háromszög egyenlő lesz a konvertált; kiindulási a háromszögek hasonlóak.
Tétel 46. 3. jelenség. Ha a két sarkokban a háromszög egyenlő két sarka a másik, a háromszög hasonló (persze, ez lesz egyenlő és harmadik sarkából a háromszögek).
Bizonyítás. Transform egyik háromszögek hasonlók úgy, hogy annak egyik oldalán egyenlővé vált a megfelelő oldalon a második háromszög. Most azt állítják, mint az előző.
Megjegyzés. A derékszögű háromszög elég bármelyikének a következő feltételeknek:
Tétel 47. Ha az adatok derékszögű háromszög egyenlőség egy pár hegyes szögben úgy, hogy a jobb oldali háromszög hasonló
Tétel 48. Ha van egy arányossági lábak adatok derékszögű háromszög, háromszögek hasonlóak négyszögletes
Tétel 49. Ha van egy arányossági egy pár láb, és a téglalap alakú háromszög átfogója adatok, mint téglalap háromszög hasonló
Kerülete és területek hasonló háromszögek.
Ha két háromszög hasonló a hasonlósági koefficiens k. a felek, hogy azok milyen k. azaz

Tétel 50. A kerülete hasonló háromszögek a két fél között.
Amikor egy ilyen átalakítás kitalálni a szögek őrzi, vonalak megváltozott az azonos számú alkalommal. Ezért, a h magasság a háromszög, amikor konvertáló homothety a k együtthatót belép a h „magasságot a háromszög. A háromszög területe lesz
azaz az átalakítás hasonlóság terület szorozva a tér a hasonlósági faktor.
Tétel 51. A területeket a hasonló háromszögek (és általában bármely ábrákon) vannak, mint a négyzetek azok lineáris méretei.

Tétel 52. (Ceva) Legyen az A1, B1 és C1 tartozik a fél BC, AC és AB ABC háromszög. Szegmensek AA1, BB1 és CC1 találkozik egy ponton akkor és csak akkor, ha

Bizonyítás: Először azt mutatják, hogy ha a szegmensek átfedik egymást, a termék aránya egyenlő 1. Legyen O - a metszéspontja szegmensek AA1, BB1 és CC1. Döntetlen egyenest Q, párhuzamos a vonal BC (ábra. 43). Mi kiterjeszteni szegmensek BB1 és CC1 a pontokat B1 és C1 fel a kereszteződés az egyenes vonal Q pontok B1 és C2 rendre. Ezután a háromszögek BOA1 és B2OA hasonló a két sarkában. Továbbá, hasonló háromszögek és COA1 C2OA. Következésképpen CA1. A1B = C2A. AB2. Továbbá, hasonló háromszögek és BB1C B2B1A, ezért B1A. B1C = AB2. CB. Hasonlóképpen BC1: C1A = BC. AC2. Megszorozzuk három kap egyenlőség, megkapjuk:

Mi most azt mutatják, hogy ha az arány egyenlő az 1, ezeket a szegmenseket metszik egy ponton. Tegyük fel, hogy ez nem így van, és a szegmensek AA1 és a BB1 találkozik O. keresztül a C és O közvetlen pontot. Legyen ez a vonal metszi az AB oldalt pontjában K. Ebben az esetben az A1, B1 és K kielégíti ezt a kapcsolatot a fent bizonyítottak. De az A1, B1 és C1 is megfelel ez az arány. Tehát, a K pont és a C1 szakadék AB oldali egyenlő arányban, azaz akkor egybeesnek. De CK áthalad a ponton O. Ennélfogva, CC1 szegmens is keresztülmegy ezen a ponton. Tehát, ha a szegmensek AA1, BB1 és CC1 találkozik O. QED. A tétel bizonyított.